Формула полной вероятности. Определение. Пусть задано некоторое вероятностное пространство (Ω, F, P). Тогда совокупность событий А1, А2, …, Аn называется полной группой событий, если выполняются следующие условия: а) А1 А2 …, Аn=Ω; б) Аi Aj=Ø, ; г) Р(Ак)>0. Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу.
Нам также известны вероятности , , …, . Как можно найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает теорема: Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий В1, В2,…, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на собственную условную вероятность: P(А)= . Эту формулу также называют формулой полной вероятности. 2.3 Формула Бейеса Составим задачу: Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу.
Так как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить как изменились вероятности гипотез, в связи с тем что событие А уже наступило.
Другими словами определим следующие условные вероятности: , , …, . Определить данные вероятности можно при помощи формулы Бейеса: , Заменив P(А)= получим: . Решение задач. Задача 1. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)? Решение.
Событию В соответствует выпадение чисел 2,4,6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию А В – 4, 6. Поэтому используя формулу условной вероятности получи: . Задача 2. Для контроля продукции лыжной фабрики из трех партий лыж взята на проверку одна деталь. Какова вероятность выявления бракованной продукции, если в одной партии 2/3 лыж бракованные, а в двух других все доброкачественные? Решение. Пусть событие В= «Взятая деталь бракованная», Ак= «деталь берется из к-ой партии», тогда вероятность Р(Ак)=1/3, где к=1; 2; 3. Пусть в первой партии находятся бракованные лыжи, значит, тогда в двух других парий нет бракованных лыж, то есть: . Применяя формулу полной вероятности получим: P(B)= . Задача 3. Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла необходима для работы прибора в целом.
Надежность (вероятность безотказной работы) в течении времени t первого узла равна p1, второго р2. Прибор испытывался в течении времени t, в результате чего обнаружено, что он отказал. Найдите вероятность того, что отказал первый узел, а второй исправен. Решение.
Пусть событие В= «прибор отказал», событие А1= «Оба узла исправны», А2= «первый узел отказал, а второй испарвен», А3= «первый узел исправен, а второй узел отказал», А4= «Оба узла отказали». Эти события образуют полную группу событий. Найдем их вероятности: Р(А1)=р1р2 Р(А2)=(1-р1)р2 Р(А3)=р1(1-р2) Р(А4)=(1-р1)(1-р2). Так как наблюдалось событие В, то: Р(В/А1)=0, Р(В/А2)= Р(В/А3)= 1. Применяя формулу Бейеса получим: . Задачи для самостоятельного решения 2.1. Среди N экзаменационных билетов n «счастливых». Студенты подходят за билетами один за другим.
У кого больше вероятность взять счастливый билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым? Какова вероятность взять «счастливый» билет у последнего студента? 2.2. 15 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить толь- ко на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета. 2.3. В техникуме n студентов, из которых nk, k = 1, 2, 3 , человек учатся k -й год. Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше второго.
Какова вероятность того, что этот студент учится третий год? 2.3 Из чисел 1, 2, …, n одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность тго, что разность между первыми выбранным числом и вторым будет не меньше m? 2.4 Во время испытаний было установлено, что вероятность безотказной работы прибора при отсутствии повреждений равна 0,99, при перегреве – 0,95, при вибрации – 0,9, при вибрации и перегреве – 0,8. Найти вероятность P1 отказа этого прибора во время работы в жарких странах (вероятность перегрева – 0,2, вибрации – 0,1) и вероятность P2 отказа во время работы в передвигающейся лаборатории (вероятность перегрева – 0,1, вибрации – 0,3), если считать перегрев и вибрацию независимыми событиями. 2.5 По каналу связи передают символы A , B , C с вероятностями 0,4; 0,3; 0,3 соответственно.
Вероятность искажения сим- вола равна 0,4, и все искажения равновероятны.
Для увеличения надежности каждый символ повторяют четыре раза. На выходе восприняли последовательность ВАСВ. Какова вероятность того, что передали АААА, ВВВВ, СССС? 2.6 На наблюдательной станции установлены 4 радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения целей с помощью первого локатора равна 0,86, второго 0,9, третьего 0,92, четвертого 0,95. Наблюдатель наугад включает один из локаторов.
Какова вероятность обнаружения цели? 2.7 Вероятность того, что двое близнецов будут одного пола 0,64, а вероятность рождения в двойне первым мальчика 0,51. Найти вероятность того, что второй из близнецов будет мальчиком, при условии, что первый из них мальчик. 2.8 Некоторая деталь производиться на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в к раз превышает объем второго.
Доля брака на первом заводе 0,3, на втором 0,2. Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь выпущена первым заводом? 2.9 Среди женщин – избирателей 70% поддерживают кандидата А, а среди мужчин 60%. Используя данные переписи, согласно которым доля женщин избирателей составляет 55%, оценить вероятность победы на выборах кандидата А. 2.10 Трое сотрудников фирмы выдают соответственно 30%, 50%, 20% всех изделий, производимой фирмой.
У первого брак 2%, второго 5%, третьего 1%. Какова вероятность, что случайно выбранное изделие дефектно? 3. Случайные величины Изучение случайных величин требует связи этих величин с определенными событиями, которые заключаются в попадании случайной величины в некоторый интервал и для которых определены вероятности. Другими словами необходимо связать случайную величину с полем данного испытания. Для лучшего понимания рассмотрим пример. При бросании кости могли появиться цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, так как это зависит от многих случайных величин, которые полностью не могут быть учтены.
В этом смысле число очков есть величина случайная; и числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – есть возможные значения этой величины. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Будем обозначать случайные величины прописными (заглавными) буквами: X, Y, Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z. Если величина Х имеет три значения то они будут обозначены так: х1, х2, х3 . 3.1