Закон больших чисел и предельные теоремы - раздел Педагогика, Введение. Предмет и метод статистической науки Под Законом Больших Чисел В Широком Смысле Понимается Общий ...
Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. Или иначе: При большом числе случайных величин их средней результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.
Неравенство Чебышева: для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X) справедливо:
,(4.1)
или
,(4.2)
Если формула (6.1) устанавливает верхнюю границу рассматриваемого события, то (4.2) – нижнюю границу вероятности события, состоящего в том, что отклонения значения случайной величины от математического ожидания не превысит (не будет менее) величины, где – достаточно малая величина.
В приложении к выборочному методу неравенство Чебышева может быть сформулировано так: при неограниченном увеличении числа наблюдений () в генеральной совокупности с ограниченной дисперсией с вероятностью близкой к единице можно ожидать, что отклонение выборочной средней () от генеральной средней будет сколь угодно мало: при . Эту вероятность в теореме А.М. Ляпунова (1901г.) используют для определения ошибки наблюдений.
, (4.3)
где - нормированная формула Лапласса.
– средняя квадратическая или стандартная ошибка выборки.
. (4.4)
Пусть надо измерить некоторою величину, истинное значение которой равно a. Пусть результат каждого измерения – случайная величина Xi(i=1,2,…,n). Если при измерениях отсутствует систематические погрешности, то M(Xi)=a при любом i. Тогда средняя арифметическая результатов и измерений сходится по вероятности к истинному значению a.
(4.5)
Дисперсия средней случайной величины Xi равна
(4.6)
Среднее квадратическое отклонение ошибок выборки
, (4.7)
. (4.8).
Зная выборочную среднюю и предельную ошибку выборки можно определить границы, в которых размещена генеральная средняя .
Величина средней квадратической ошибки простой случайной повторной выборки может быть определена по формуле:
, (4.9)
т.е. чем больше вариация признака в генеральной совокупности, тем больше ошибка выборки.
Величину называют предельной ошибкой для определения значения вероятности. Если требуется оценить среднюю генеральной совокупности с вероятностью 0,9545, то надо получить значение выборочной средней из соотношения (функция Лапласа).
Для выборки объема предельная ошибка может быть определена из соотношения .
t
1,00
1,96
2,00
2,58
3,00
F(t)
0,683
0,9500
0,9545
0,9901
0,9973
– это предел возможной ошибки (правило «трех сигм»).
Формула предельной ошибки выборки используется не только для оценки пределов, в которых находится изучаемый признак в генеральной совокупности, но и для определения необходимого объема выборки при заданной ее ошибке. Третий тип задач, которые могут быть решены с использованием предельной ошибки выборки, – это определение вероятности, с которой можно гарантировать, что ошибка выборки не выйдет за заданные пределы.
Величина дисперсии генеральной совокупности принципиально не известна и можно говорить лишь о ее оценке по результатам одной выборки.
–для простой случайной выборки.
При , поправка становится 3,5% (30/(30-1)), поэтому ею можно пренебречь.
Пример... Имеются первичные данные о количестве работников определенного возраста... Произведем группировку работников предприятия по возрасту Для этого по формуле рассчитаем число групп...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Закон больших чисел и предельные теоремы
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
История развития статистической науки
Статистическая наука сложилась в результате теоретических обобщений накопленных человечеством опыта учетно-расчетных работ, обусловленных потребностями управления обществом.
Предмет и метод статистической науки
Объектом исследования статистики как науки являются:
· общество;
· массовые социально-экономические явления;
· влияние природных и технических фактор
Организация и функции статистических служб
В России в 1811 г. при департаменте полиции было образовано статистическое отделение, в 1857 г. – Центральный статистический комитет, губернские и земские Комитеты, с 25 июля 1918 г. – Центральное
Понятие о статистической информации
Информация – (лат.) «осведомление, доведение сведений о чем-либо».
Статистическая информация (статистические данные) – первичный материал о социально-экономических явления
Статистическое наблюдение
Статистическое наблюдение – это такое наблюдение, которое обеспечивает получение объективной, сопоставимой, достоверной и полной информации о событии и обладает, как и вероятность,
Сводка и группировка статистических данных
Получаемая в ходе статистического наблюдения информация характеризует единицы статистической совокупности с различных сторон и не позволяет сделать обобщающие выводы об объекте в целом (т.е. о всей
Принципы построения статистических группировок
1. Выбор группировочного признака – признака, по которому производится разбиение совокупности на отдельные группы. В качестве признака необходимо использовать существенные обоснова
Вариационные ряды
При изучении совокупности интересующий нас признак у различных единиц совокупности принимает различные значения, т.е. он имеет некоторую вариацию.
Вариацией признака назыв
Графическое отображение вариационных рядов
Вариационный ряд по своей конструкции имеет 2 характеристики:
· значения варьирующего признака – варианты xi, i = 1,2,…,m;
· число
Обобщающие статистические показатели
Экономико-статистические показатели содержат количественную характеристику тех или иных свойств экономических явлений и представляют собой модель. С помощью показателей определяются результаты экон
Абсолютные и относительные статистические показатели
Абсолютными в статистике называются суммарные обобщающие показатели, характеризующие размеры, объемы, уровни, мощности, темпы и др. изменения величин. Абсолютные показатели являются именова
Средние величины
Средняя величина является обобщающей характеристикой совокупности однотипных явлений по изучаемому признаку. Средняя величина должна вычисляться с учетом экономического содержания
Свойства средней арифметической
1.Средняя арифметическая постоянной величины равна самой величине.
2.Если все варианты xi увеличить (уменьшить) на одно и тоже число
Средние структурные величины
В условиях недостаточности средних используют структурные средние величины – моду и медиану.
Медиана (Ме) – это вариант, который находится а
Показатели вариации
Вариациейназывается изменяемость, колеблемость величины признака. Вариация проявляется в отклонениях от средних и зависит от множества факторов, влияющих на социально-экономическое
Свойства дисперсии
1.Дисперсия постоянной величины равна нулю.
2.Если у всех значений вариантов отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений (дис
Вариация альтернативного признака
Альтернативные признаки– два противоположных, взаимоисключающих друг друга качественных признака, которыми одни единицы совокупности обладают (значение варианта 1),
Моменты распределения
Для подробного описания особенностей распределения используют дополнительные характеристики – моменты распределения.
Момент распределения k-го порядка – средняя вел
Теоретические кривые распределения
Анализ вариационных рядов предполагает выявление закономерностей распределения, определение и построение (получение) некой теоретической (вероятностной) формы распределения. Характер распределения
Выборочное наблюдение в статистике
Наиболее широко распространенным видом несплошного наблюдения является выборочное наблюдение, при котором обследуются не все единицы изучаемой совокупности, а лишь определенным образом отобранная и
Ошибка выборки для альтернативного признака
Теорема Бернулли утверждает, что при достаточно большом объеме выборки вероятность Pрасхождения между долей признака в выборочной совокупности р и долей в генеральной совокупности
Регрессионный анализ
Для оценки параметров уравнений регрессии наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативн
Корреляционный анализ
Различают:
парную корреляцию – это зависимость между результативным и факторным признаком; частную корреляцию – это зависимость между результативным и одним факторным призна
Анализ динамических рядов
Динамический рядпредставляет собой хронологическую последовательность числовых значений статистических показателей.
Виды рядов динамики (РД):
1)
Методы анализа тенденций рядов динамики
Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления. На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе в
Сезонные колебания
Уровни ряда динамики формируются под влиянием различных взаимодействующих факторов, одни из которых определяют тенденцию развития, а другие –колеблемость (вариацию)
Колебания уровней ряда
Прогнозирование на основе экстраполяции тренда
Тренд – основная тенденция развития. Методы выявления тренда называются методами выравнивания временного ряда (метод наименьших квадратов, скользящей средней, конечных разностей).
При нали
Экономические индексы
Индексом в статистике называется относительный показатель, характеризующий изменение величины какого-либо явления по сравнению с эталоном.
Таблица – Классификация индексов
Общие индексы количественных показателей
Индекс физического объема продукции показывает относительное изменение стоимости продукции из-за изменения объема производства.
Индивидуальный индекс:
,(4.1)
,(4.2)
, где 
– достаточно малая величина.
) в генеральной совокупности с ограниченной дисперсией с вероятностью близкой к единице можно ожидать, что отклонение выборочной средней (
) от генеральной средней 
будет сколь угодно мало: 
при 
, (4.3)
- нормированная формула Лапласса.
– средняя квадратическая или стандартная ошибка выборки.
. (4.4)
(4.5)
(4.6)
, (4.7)
. (4.8).
и предельную ошибку выборки 
можно определить границы, в которых размещена генеральная средняя 
, (4.9)
называют предельной ошибкой для определения значения вероятности. Если требуется оценить среднюю генеральной совокупности 
(функция Лапласа).
предельная ошибка 
может быть определена из соотношения 
.
– это предел возможной ошибки (правило «трех сигм»).
принципиально не известна и можно говорить лишь о ее оценке по результатам одной выборки.
–для простой случайной выборки.
, поправка 
становится 
3,5% (30/(30-1)), поэтому ею можно пренебречь.
Новости и инфо для студентов