Предположим, что открытый цилиндрический сосуд с жидкостью приведен во вращательное движение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью (рис. 2.21).
Вращающиеся стенки цилиндра приведут во вращательное движение ближайшие к стенкам слои жидкости, а затем, вследствие вязкости жидкости - и всю ее массу. По истечении известного времени все частицы жидкости будут вращаться примерно с одной и той же угловой скоростью , а свободная поверхность жидкости видоизменится. В центральной части уровень понизится, а у стенок – повысится. Допустим, что такой момент времени наступил. Определим форму поверхности уровня и, в частности, свободной поверхности.
Рис. 2.21. Относительное равновесие при вращении жидкости
вокруг вертикальной оси
Оси координат, как обычно, свяжем с сосудом. При этом будет представлять собой горизонтальную плоскость, а ось - направлена вертикально вверх. Отметим в жидкости произвольную точку .
Как и в предыдущей задаче, используем общее дифференциальное уравнение поверхности уровня (2.12)
.
Так как движение симметрично относительно оси вращения, то рассмотрим равновесие частиц жидкости, расположенных в плоскости координат .
На жидкость действуют единичные объемные силы:
- сила земного тяготения; -сила инерции.
Сила инерции представляет собой центробежную силу, направленную параллельно оси в сторону от оси вращения.
Следовательно, равнодействующая внешних объемных сил равна
,
и направлена по нормали к свободной поверхности под углом к оси
.
Очевидно, что в данном случае проекции единичных массовых сил:
; ; .
Делая подстановку в основное уравнение поверхности, получим:
,
или
,
и после интегрирования
.
Постоянную интегрирования находим при , , т.е. . Тогда уравнение поверхности представляет собой параболу с вершиной в точке на оси
, (2.31)
где - глубина погружения точки .
Поскольку уравнение симметрично относительно оси , постольку поверхность уровня будет представлять собой параболоид вращения.
Закон распределения давления найдем, используя основное дифференциальное уравнение гидростатики (2.10)
.
Так как проекции единичных массовых сил равны
; ; ,
то после подстановки, имеем
,
или
,
или
.
Интегрируя, находим (при и )
.
Для определения возьмем точку на свободной поверхности при . Для этой точки (давление атмосферное), (координата вершины параболы).
Тогда , и после подстановки
.
Учитывая, что и умножив обе части на , получим значение давления для всех точек любой вертикали на расстоянии от оси
. (2.32)
Как видим, при вращении сосуда с жидкостью давление в некоторой точке складывается из трёх частей:
1) внешнего давления на свободной поверхности;
2) весового давления ;
3) давления , производимого центробежной силой.
При этом давление в разных точках одной и той же горизонтальной плоскости не остается здесь постоянным, а изменяется по параболическому закону – пропорционально квадрату текущего радиуса вращения. С другой стороны, при распределение давления остается таким же, как при «абсолютном» равновесии.