Рассмотрим частный случай установившегося движения жидкости, когда на неё действует лишь одна массовая сила – сила тяжести. Проекции единичных массовых сил на оси координат будут равны:
, , .
Подставив эти значения в уравнение (3.16), после преобразования получим
.
Проведём интегрирование этого уравнения, наложив на него третье ограничение - будем считать, что жидкость несжимаема, т.е. .
, (3.17)
или, подставив ,
, (3.18)
где - гидродинамический напор.
Уравнение в формах (3.17) и (3.18) обычно называют уравнением Бернулли, отдавая дань заслугам Даниила Бернулли, который первым установил эту закономерность и обосновал её в капитальном труде «Гидродинамика». Как известно, эту монографию, вышедшую в 1738 году, он посвятил Петербургской Академии наук.
Это уравнение показывает, что приращение трёх членов при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока равно нулю, т.е. есть величина постоянная.
При установившемся течении траектория жидкой частицы совпадает с линией тока. Поэтому полученное уравнение справедливо для частицы идеальной жидкости, движущейся вдоль линии тока. Учитывая малость сечения струйки, можно считать его справедливым и для элементарной струйки, осевая линия которой совпадает с линией тока.