Табличная математическая модель исправного комбинационного дискретного устройства
Выходные функции z1, z2 ,..., zk являются булевыми функциями независимых переменных x1, x2 ,…, xn. Для задания булевых функции часто используют таблицы истинности. Столбцы таблиц истинности (табл. 2) сопоставляются входным переменным (в левой части) и выходным функциям (в правой части). В строке j таблицы истинности записываются слева направо входной набор Xj и соответствующий ему выходной набор Zj, обычно в виде двоичных чисел.
Систему соответствий (2.2) можно представить либо одной общей для всех выходных функций таблицей истинности, либо k таблицами истинности – по одной для каждой выходной функции. Последний случай соответствует заданию системы соответствий вида
Xj ® (zg)j (2.3)
для всех g = 1, 2, …, k и всех j = 0, 1, …, 2n-1.
Таблица 1. Таблица истинности многовыходного дискретного устройства
| Номера входных наборов | Значения входных переменных | Значения логических функций | ||||||
| xn | … | x2 | x1 | z1 | z2 | … | zk | |
| … | … | |||||||
| … | … | |||||||
| … | … | … | … | … | … | … | … |
Пример 2.1. Примером общей таблицы истинности для двух выходных функций z1, z2 от трех входных переменных x1, x2, х3 является табл. 3. В левом столбце этой таблицы указаны порядковые номера строк, являющиеся десятичными эквивалентами двоичных чисел, представляющих входные наборы.
Таблица 2. Таблица истинности двухвыходного дискретного устройства
| № | x3 | x2 | x1 | z1 | z2 |
Таблица истинности является функциональной математической моделью комбинационного устройства. От таблицы истинности можно перейти к аналитической функциональной математической модели комбинационного устройства, представив его выходные функции в виде, например, формул булевой алгебры. Одна и та же булева функция может быть представлена в прямом или инверсном виде разными формулами.
Пример 2.2. Прямой вид функции, или прямая функция, z1 из табл. 3 может быть задан совершенной дизъюнктивной нормальной формой
минимальной дизъюнктивной нормальной формой
полученной из совершенной дизъюнктивной нормальной формы в результате простейших логических преобразований
,
и скобочной формой
Для инверсного вида функции, или для инверсной функции, 
получаем:
или 
Каждой из приведенных форм соответствует дискретное устройство определенной структуры, причем реализующее одну и ту же передаточную функцию F(X). Так для форм, полученных в примере 2, на основании табл. 2, соответствуют следующие структуры: совершенная дизъюнктивная нормальная форма – рис. 12, минимальная дизъюнктивная нормальная форма – рис. 13, скобочная форма – рис. 14.
Рис. 12. Функциональная схема ДУ, описываемая совершенной ДНФ
Рис. 13. Функциональная схема ДУ, описываемая минимальной ДНФ
Рис. 14. Функциональная схема ДУ, описываемая скобочной формой
Обобщая вышеизложенное, можно сделать следующий вывод. Функциональные модели используются для описания устройств, когда исследуемое устройство рассматривается как «черный ящик», структура которого неизвестна или не имеет значения. Они предназначены для выяснения характера переработки информации, осуществляемой устройством, и выяснения функциональных зависимостей между информацией, поступающей на входы устройства и вырабатываемой на его выходах. В рамках функционального подхода возможен переход от аналитической формы представления модели к табличной и наоборот. Однако диагностические возможности функциональных моделей ограничены, поскольку они не учитывают структурных особенностей (свойств) физических объектов диагностирования.