Коэффициент корреляции
Коэффициент корреляции — это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до -1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1, а при полной отрицательной — минус 1. На графике этому соответствует прямая линия, проходящая через точки пересечения значений каждой пары данных:
Полная положительная корреляция (r = +1)
Полная отрицательная корреляция (r = -1)
В случае же если эти точки не выстраиваются по прямой линии, а образуют «облако», коэффициент корреляции по абсолютной величине становится меньше единицы и по мере округления этого облака приближается к нулю:
В случае если коэффициент корреляции равен 0, обе переменные полностью независимы друг от друга.
В гуманитарных науках корреляция считается сильной, если ее коэффициент выше 0,60; если же он превышает 0,90, то корреляция считается очень сильной. Однако для того, чтобы можно было делать выводы о связях между переменными, большое значение имеет объем выборки: чем выборка больше, тем достовернее величина полученного коэффициента корреляции. Существуют таблицы с критическими значениями коэффициента корреляции Браве—Пирсона и Спирмена для разного числа степеней свободы (оно равно числу пар за вычетом 2, т. е. n - 2). Лишь в том случае, если коэффициенты корреляции больше этих критических значений, они могут считаться достоверными. Так, для того чтобы коэффициент корреляции 0,70 был достоверным, в анализ должно быть взято не меньше 8 пар данных (η = n - 2 = 6) при вычислении r (табл. В.4) и 7 пар данных (η = n - 2 = 5) при вычислении rs (табл. 5 в дополнении Б.5).
Коэффициент Браве—Пирсона
Для вычисления этого коэффициента применяют следующую формулу (у разных авторов она может выглядеть по-разному):
r = 
,
где ΣXY — сумма произведений данных из каждой пары;
n — число пар;
— средняя для данных переменной X;
— средняя для данных переменной Y;
sx — стандартное отклонение для распределения x;
sy — стандартное отклонение для распределения y.
Теперь мы можем использовать этот коэффициент для того, чтобы установить, существует ли связь между временем реакции испытуемых и эффективностью их действий. Возьмем, например, фоновый уровень контрольной группы.
| Испытуемые | Эффективность (X) | Время реакции (Y) | XY |
| Д1 | |||
| Д2 | |||
| Д3 | |||
| ... | ... | ... | ... |
| Ю8 |
ΣXY = 3142
n
= 15 ∙ 15,8 ∙ 13,4 = 3175,8;
(n - 1)sxsy = 14 ∙ 3,07 ∙ 2,29 = 98,42;
r = 
= 
= -0,34.
Отрицательное значение коэффициента корреляции может означать, что чем больше время реакции, тем ниже эффективность. Однако величина его слишком мала для того, чтобы можно было говорить о достоверной связи между этим двумя переменными.
Теперь попробуйте самостоятельно подсчитать коэффициент корреляции для экспериментальной группы после воздействия, зная, что ΣXY = 2953:
n
= .....
(n - 1)sxsy = .....
r = 
==.....
Какой вывод можно сделать из этих результатов? Если вы считаете, что между переменными есть связь, то какова она — прямая или обратная? Достоверна ли она (см. табл. 4 (в дополнении Б.5) с критическими значениями r)?
Коэффициент корреляции рангов Спирмена rs
Этот коэффициент рассчитывать проще, однако результаты получаются менее точными, чем при использовании r. Это связано с тем, что при вычислении коэффициента Спирмена используют порядок следования данных, а не их количественные характеристики и интервалы между классами.
Дело в том, что при использовании коэффициента корреляции рангов Спирмена (rs) проверяют только, будет ли ранжирование данных для какой-либо выборки таким же, как и в ряду других данных для этой выборки, попарно связанных с первыми (например, будут ли одинаково «ранжироваться» студенты при прохождении ими как психологии, так и математики, или даже при двух разных преподавателях психологии?). Если коэффициент близок к +1, то это означает, что оба ряда практически совпадают, а если этот коэффициент близок к -1, можно говорить о полной обратной зависимости.
Коэффициент rs вычисляют по формуле
rs = 1 - 
,
где d — разность между рангами сопряженных значений признаков (независимо от ее знака), а n — число пар.
Обычно этот непараметрический тест используется в тех случаях, когда нужно сделать какие-то выводы не столько об интервалах между данными, сколько об их рангах, а также тогда, когда кривые распределения слишком асимметричны и не позволяют использовать такие параметрические критерии, как коэффициент r (в этих случаях бывает необходимо превратить количественные данные в порядковые).
Поскольку именно так обстоит дело с распределением значений эффективности и времени реакции в экспериментальной группе после воздействия, можно повторить расчеты, которые вы уже проделали для этой группы, только теперь не для коэффициента r, а для показателя rs. Это позволит посмотреть, насколько различаются эти два показателя.
| Испытуемые | Эффективность x | Время реакции y | Ранги x* | Ранги y* | d | d2 |
| Д8 | ||||||
| Д9 | ||||||
| Д10 | 11,5 | 3,5 | 12,25 | |||
| Д11 | 7,5 | 4,5 | 20,25 | |||
| Д12 | 13,5 | 11,5 | 132,25 | |||
| Д13 | 8,5 | 6,5 | 42,25 | |||
| Д14 | 8,5 | 9,5 | ||||
| Ю9 | 11,5 | 1,5 | 2,25 | |||
| Ю10 | ||||||
| Д11 | 9,5 | 2,5 | 6,25 | |||
| Ю12 | ||||||
| Ю13 | ||||||
| Ю14 | 7,5 | 4,5 | 20,25 | |||
| Ю15 | 13,5 | 6,5 | 42,25 | |||
| Ю16 |
*) Следует помнить, что: 1) для числа попаданий 1-й ранг соответствует самой высокой, а 15-й — самой низкой результативности, тогда как для времени реакции 1-й ранг соответствует самому короткому времени, а 15-й — самому долгому; 2) данным ex aequo придается средний ранг.
Σd2 = 428
rs = 1 - 
= 1 - 
= 0,24.
Таким образом, как и в случае коэффициента r, получен положительный, хотя и недостоверный, результат. Какой же из двух результатов правдоподобнее: r = -0,48 или rs = +0,24? Такой вопрос может встать лишь в том случае, если результаты достоверны.
Хотелось бы еще раз подчеркнуть, что сущность этих двух коэффициентов несколько различна. Отрицательный коэффициент r указывает на то, что эффективность чаще всего тем выше, чем время реакции меньше, тогда как при вычислении коэффициента rs требовалось проверить, всегда ли более быстрые испытуемые реагируют более точно, а более медленные — менее точно.
Поскольку в экспериментальной группе после воздействия был получен коэффициент rs, равный 0,24, подобная тенденция здесь, очевидно, не прослеживается. Попробуйте самостоятельно разобраться в данных для контрольной группы после воздействия, зная, что Σd2 = 122,5:
rs = 1 - = 1 - = 1 - ..... ; достоверно ли?
Каков ваш вывод? ..........
Итак, мы рассмотрели различные параметрические и непараметрические статистические методы, используемые в психологии. Наш обзор был весьма поверхностным, и главная задача его заключалась в том, чтобы читатель понял, что статистика не так страшна, как кажется, и требует в основном здравого смысла. Напоминаем, что данные «опыта», с которыми мы здесь имели дело, — вымышленные и не могут служить основанием для каких-либо выводов. Впрочем, подобный эксперимент стоило бы действительно провести. Поскольку для этого опыта была выбрана сугубо классическая методика, такой же статистический анализ можно было бы использовать во множестве различных экспериментов. В любом случае нам кажется, что мы наметили какие-то главные направления, которые могут оказаться полезны тем, кто не знает, с чего начать статистический анализ полученных результатов.