т.е. р — истинно или ложно и q истинно или ложно.
По законам логического умножения имеем:
(pf~P)A(qTq) = (pAq)V(pAq)V{pAq)V(pAq). (2)
12 3 4
Все логически возможные сочетания этих высказываний, т.е. гипотезы, мы получаем простым комбинированием этих четырех конъюнкций. Отсюда получаются 16 гипотез и, соответственно, 16 операций по их образованию: 0, 1,2, 3, 4, 12, 13, 14, 23, 24, 34, 123, J24, 134, 234, 1234. (Смысл этих сочетаний цифр ясен из обозначений в формуле 2). Например: 23 — означает:
(PAqW(pAq),
т.е. гипотезу: р — истинно и q ложно или р — ложно и q истинно).
Все это, конечно, число формальное описание. В действительности, например, очень редко гипотезы выдвигаются и испытываются в таком порядке и все до одной. Чаще возникают только некоторые, «достаточно убедительные» гипотезы, и к ним человек приходит как-то иначе, чем через механическое комбинирование исходных высказываний.
Впрочем, это тоже может быть только видимостью. Как и все остальные операционные «механизмы» мысли, этот процесс комбинирования может происходить за порогом сознания. Причем, он не обязательно должен идти последовательным перебором, а может осуществляться сразу в виде одновременной модели соответствующих связей. В сознание же могут проникать лишь те комбинации (гипотезы), которые согласуются с другими данными (связями, моделями) в мозгу.
Кое-что мы можем предположить и относительно тех систем мыслительных операций, при помощи которых человек осуществляет логические проверки гипотез на уровне теоретического мышления.
Вот описание одного из экспериментов Пиаже, где исследовался этот вопрос. «Тяжелый поршень давит на жидкость, расположенную в одном рукаве U-образно-го сосуда, что заставляет ее несколько подняться во втором рукаве. Чтобы поднять уровень жидкости выше, можно либо усилить давление на поршень (р), либо наполнить сосуд более легкой по удельному весу жидкостью (q); и, наоборот, жидкость можно понизить до исходного уровня, либо сняв груз (), либо взяв снова более тяжелую жидкость ()». Эксперименты показали, что «в случае с гидравлическим прессом (тяжелый поршень давит на жидкость в одном рукаве U-образного сосуда и т.д.) подросток может правильно предсказать, как повлияют на высоту столба жидкости во втором рукаве вариации и веса поршня и плотности жидкости. «Как показывает анализ высказываний, это происходит потому, что «подросток улавливает тот важный факт, что эффекту увеличения веса поршня можно противопоставить любую (или обе) из двух разных операций — реально удалить дополнительный груз (отрицание) или увеличить удельный вес воды и таким образом усилить обратное давление на поршень (реципрокность)».
Пиаже показал, что такие идеальные операции, с помощью которых проверяются отношения изменений и гипотезы о них, можно свести, в частности, к следующим четырем:
1. Тождество (У). Это «нулевое» преобразование ничего не изменяет в предложении, к которому применяется. Если предложение выглядит, скажем, как
pJq, то / (pVq) = РУЯ'
Точно так же
pJq, то IipVq) = pVq.
Так, например, если мы обнаруживаем, что частота колебаний маятника остается той же при изменениях его веса, мы отбрасываем гипотезу о том, что частота колебаний маятника зависит от его веса.
2. Отрицание (N). В отличие от первого это преобразование изменяет совершенно все в предложении, к которому применяется. Другими словами, всякое утверждение превращается в отрицание, и, наоборот, всякая конъюнкция (л) становится дизъюнкцией (v), и наоборот. Следовательно,
N (РVq) =Р Ад, N (pAq) =pVq, N (p/q) =pAq и т. д-
Оно соответствует уничтожению выполненной реальной операции. Так, в описанном выше эксперименте отрицанием будет предположение об удалении дополнительного груза.
3. Реципрокность (R). Это преобразование изменяет на обратное утверждение и отрицание, но не затрагивает конъюнкцию и дизъюнкцию, например: