1. Объем выборки должен быть достаточно большим: N>30. При N<30 критерий χ2 дает весьма приближенные значения. Точность критерия повышается при больших N.
2. Теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5: f ≥ 5. Это означает, что если число разрядов задано заранее и не может быть изменено, то мы не можем применять метод χ2, не накопив определенного минимального числа наблюдений. Если, например, мы хотим проверить наши предположения о том, что частота обращений в телефонную службу Доверия неравномерно распределяются по 7 дням недели, то нам потребуется 5-7=35 обращений. Таким образом, если количество разрядов (k) задано заранее, как в данном случае, минимальное число наблюдений (Nmin) определяется по формуле: .
3. Выбранные разряды должны "вычерпывать" все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопоставляемых распределениях.
4. Необходимо вносить "поправку на непрерывность" при сопоставлении распределений признаков, которые принимают всего 2 значения. При внесении поправки значение χ2, уменьшается (см. пример с поправкой на непрерывность).
5. Разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может быть отнесено ни к какому другому разряду. Сумма наблюдений по разрядам всегда должна быть равна общему количеству наблюдений.
Алгоритм расчета критерия χ2
1. Составить таблицу взаимной сопряженности значений признаков следующего вида (по сути это двумерный вариационный ряд, в котором указываются частоты появления совместных значений признака) — таблица 14. В таблице располагаются условные частоты, которые мы обозначим в общем виде как fij. Например, число градаций признака х равно 3 (k=3), число градаций признака у равно 4 (m=4); тогда i меняется от 1 до k, а j меняется от 1 до m.
Таблица 15
хi уj | х1 | х2 | х3 | ∑ |
у1 | f11 | f21 | f31 | f –1 |
у2 | f12 | f22 | f32 | f –2 |
у3 | f13 | f23 | f33 | f –3 |
у4 | f14 | f24 | f34 | f –4 |
∑ | f1– | f2– | f3– | N |
2. Далее для удобства расчетов преобразуем исходную таблицу взаимной сопряженности в таблицу следующего вида (таблица 16), располагая столбики с условными частотами один под другим: Занести в таблицу наименования разрядов (столбцы 1 и 2) и соответствующие им эмпирические частоты (3-й столбец).
Таблица 16
хi | уj | fij | fij* | fij – fij* | (fij – fij*)2 | (fij – fij*)2/ fij* |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
х1 | у1 | f11 | f11* | |||
у2 | f12 | f12* | ||||
у3 | f13 | f13* | ||||
у4 | f14 | f14* | ||||
х2 | у1 | f21 | f21* | |||
у2 | f22 | f22* | ||||
у3 | f23 | f23* | ||||
у4 | f24 | f24* | ||||
х3 | у1 | f31 | f31* | |||
у2 | f32 | f32* | ||||
у3 | f33 | f33* | ||||
у4 | f34 | f34* | ||||
∑=…………. |
3. Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (4-й столбец), которая вычисляется по следующей формуле (итоговая частоты по соответствующей строчке умножается на итоговую частоту по соответствующему столбику и делится на общее количество наблюдений):
4. Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в 5-й столбец.
5. Определить число степеней свободы по формуле: ν=(k-1)(m-1) , где k - количество разрядов признака х, m — количество разрядов признака у.
Если ν=1, внести поправку на "непрерывность" и записать её в столбце 5а.
Поправка на непрерывность состоит в том, что от разности между условной и теоретической частотой отнимается еще 0,5. Тогда заголовки столбиков в нашей таблице будет выглядеть следующим образом:
Таблица 17
хi | уj | fij | fij* | fij – fij* | fij – fij* – 0,5 | (fij – fij* – 0,5)2 | (fij – fij* – 0,5)2/ fij* |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 5а | 6 | 7 |
6. Возвести в квадрат полученные разности и занести их в 6-й столбец.
7. Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую частоту и записать результаты в 7-й столбец.
8. Просуммировать значения 7-го столбца. Полученную сумму обозначить как χ2эмп.
9. Правило принятия решения:
Расчетное значение критерия необходимо сравнить с критическим (или табличным) значением. Критическое значение находится в зависимости от числа степеней свободы по таблице критических значений критерия χ2 Пирсона.
Если χ2расч ≥ χ2табл , то расхождения между распределениями статистически достоверны, или признаки изменяются согласованно, или связь между признаками статистически значима.
Если χ2расч < χ2табл , то расхождения между распределениями статистически недостоверны, или признаки изменяются несогласованно, или связи между признаками нет.