Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками и является более мощным, чем критерий Розенбаума.
Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Первым рядом (выборкой, группой) называют тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а вторым рядом – тот, где они предположительно ниже.
Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше Uэмп, тем более вероятно, что различия достоверны.
Формулировка статистических гипотез:
Н0: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.
Н1: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.
Условия применения U-критерий Манна – Уитни
1) Измерение должно быть проведено в шкале интервалов и отношений.
2) Выборки должны быть несвязными.
3) Нижняя граница применимости критерия n1≥3 и n2≥3 или n1=2 и n2≥5.
4) Верхняя граница применимости критерия: n1 и n2≤60.
Алгоритм подсчёта U-критерия Манна – Уитни
1) Расположить исходные данные в виде таблицы в 4 столбца и n1+n2 строк. В первом столбце расположить по возрастающей данные первой группы. Во втором – второй группы. И первый, и второй столбцы имеют пропуски чисел, обозначенные символом «-».
2) В третьем и четвёртом столбцах расставляются ранги так, как будто бы оба столбца образуют собой один упорядоченный ряд чисел. По каждому столбцу в отдельности подсчитывается сумма рангов.
3) Проводится проверка правильности ранжирования:
а) подсчитывается общая сумма рангов;
б) рассчитывается сумма рангов по формуле: N(N+1)\ 2, где N=n1+n2.
Расчётные суммы должны совпасть.
4) Находится большая по величине сумма рангов и обозначается как Rmax.
5) Вычисляется по формуле
Uэмп= (n1·n2) + nx(nx+1)\2 - Rmax,
где n1 – объём первой выборки,
n2 - объём второй выборки,
Rmax – наибольшая по величине сумма рангов,
nx – количество испытуемых в выборке с большей суммой рангов.
6) По Таблице 3 находятся критические значения, соответствующие величинам n1 и n2.
7) Строится ось значимости, наносятся критические и эмпирическое значения критерия. Определяется зона попадания Uэмп .
8) Делается вывод.
Пример 6.1.Две неравные по численности группы испытуемых (8 и 9 испытуемых) решали техническую задачу. Показателем служило время решения. Испытуемые меньшей по численности группы получали дополнительную мотивацию в виде денежного вознаграждения. Психолога интересует вопрос – влияет ли вознаграждение на успешность решения задачи?
Результаты времени решения в секундах:
- в группе с дополнительной мотивацией: 41, 38, 44, 6, 25, 25, 30, 41.
- в группе без дополнительной мотивации: 46, 8, 50, 45, 32, 41, 41, 30, 55.
Решение: Для ответа на вопрос задачи применим критерий U Вилкоксона – Манна – Уитни.
Формулировка гипотез:
Н0: Время решения задачи в группе с дополнительной мотивацией не ниже, чем в группе без дополнительной мотивации.
Н1: Время решения задачи в группе с дополнительной мотивацией ниже, чем в группе без дополнительной мотивации.
Алгоритм подсчёта критерия U:
1) Расположим исходные данные в виде таблицы в 4 столбца и 19 строк (8+9+1+1). В первом столбце расположены по возрастающей данные первой группы. Во втором – второй группы. Пропуски чисел обозначим символом -.
| Группа с доп. мотивацией X (n1=8) | Группа без доп. мотивации Y (n2=9) | Ранги X R(x) | Ранги Y R(y) |
| - | - | ||
| - | - | ||
| - | (3) 3,5 | - | |
| - | (4) 3.5 | - | |
| - | (5) 5,5 | - | |
| - | - | (6) 5,5 | |
| - | - | ||
| - | - | ||
| - | (9) 10,5 | - | |
| - | - | (10) 10,5 | |
| - | - | (11) 10,5 | |
| - | (12) 10,5 | - | |
| - | - | ||
| - | - | ||
| - | - | ||
| - | - | ||
| - | - | ||
| Суммы рангов | 55,5 | 97,5 |
2) В 3-м и 4-м столбцах расставляем ранги. По каждому столбцу в отдельности подсчитывается сумма рангов (55,5 и 97,5).
3) Проверка правильности ранжирования:
а) подсчитывается общая сумма рангов: 55,5+97,5=153.
б) рассчитывается сумма рангов по формуле:
N(N+1)\ 2=17·18\ 2=153, N=n1+n2.
Расчётные суммы совпали, следовательно, ранжирование проведено верно.
4) Находится большая по величине сумма рангов и обозначается как Rmax. В нашем случае она равна 97,5.
5) Вычисляется по формуле Uэмп= (n1xn2) + nx(nx+1)\2 - Rmax,
где n1 – объём первой выборки,
n2 - объём второй выборки,
Rmax – наибольшая по величине сумма рангов,
nx – количество испытуемых в выборке с большей суммой рангов.
В нашем случае Uэмп= (8x9) + (9x10)/2 – 97,5 = 19,5
6) По Таблице 3приложения для n1=8 и n2=9находим критические значения:
Uкр = 18 (для Р≤0,05) и Uкр = 11 (для Р≤0,01)
7) Строим ось значимости, наносим критические и эмпирическое значения критерия. В нашем случае Uэмп = 19,5 попало в зону незначимости.
| 0,05 0,01 |
| 19,5 18 11 |
| Зона незначимости |
8) Делаем вывод. Принимается гипотеза H0 о сходстве, а гипотеза H1 о наличии различий отклоняется. Психолог может утверждать, что дополнительная мотивация не приводит к статистически значимому увеличению эффективности решения технической задачи.
6.3. Критерий Q Розенбаума («критерий хвостов»).