МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПСИХОЛОГИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Ульяновский государственный педагогический

университет имени И. Н. Ульянова»

 

 

Кафедра психологии

 

Г. А. Стрюкова

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПСИХОЛОГИИ

Учебно-методическое пособие

 

Ульяновск

 

УДК 15.073 Печатается по решению редакционно-издательского

ББК 88 совета ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный

С 87 педагогический университет имени И. Н. Ульянова»

 

 

Рецензенты:

Коноплёва И. В. – кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры математики ФГБОУ ВПО УлГУ;

Гурылёва Л. В. – кандидат психологических наук, доцент кафедры психологии

ФГБОУ ВПО «УлГПУ им. И. Н. Ульянова»

 

ISBN 978-5-86045-535-1

С 87Стрюкова Г. А.Математические основы психологии: Учебно-методическое пособие. - Ульяновск: УлГПУ, 2012. 85 с.

В учебном пособии рассматриваются основные методы статистической обработки эмпирических и экспериментальных данных, включая непараметрические и параметрические критерии оценки различий, согласия распределений, корреляционный анализ. Приведены необходимые теоретические сведения и формулы для решения типовых задач, наиболее часто встречающихся в экспериментальных психологических исследованиях. На конкретных примерах рассмотрены алгоритмы решения типовых задач. В качестве приложения к учебному пособию приведены справочные таблицы для определения критических значений основных статистических критериев, задания для самостоятельного решения.

Учебное пособие предназначено для студентов психологических специальностей. Пособие также может быть использовано студентами других специальностей педагогического вуза в качестве справочника при написании выпускных квалификационных и курсовых работ.

 

УДК 15.073

ББК 88

 

 

 

 

© Стрюкова Г. А.

© ФГБОУ ВПО

«УлГПУ им. И. Н. Ульянова»

Содержание

Введение.........................................................................................................	5
1. Понятие измерения в психологии. Измерительные шкалы...................
2. Выборка. Формы учёта результатов измерений.....................................
3. Числовые характеристики распределений. Нормальное распределение............................................................................................
4. Общие принципы проверки статистических гипотез.............................
5. Статистические критерии различий. Непараметрические критерии для связных выборок.…………................................................................
6. Непараметрические критерии для несвязных выборок……………….
7. Критерии согласия распределений..……………...….............................
8. Корреляционный анализ. Коэффициенты корреляции Спирмена и Пирсона………………………………………………………...................
Задания для самостоятельного решения.................................................	63
Темы рефератов...........................................................................................	72
Таблицы критических значений................................................................	73
Рекомендуемая литература.......................................................................	84

ВВЕДЕНИЕ.

Перед человеком, вставшим на путь психологического или педагогического исследования, рано или поздно возникает проблема обоснования его результатов. Любое исследование подразумевает применение валидных методик, назначение которых – выявлять проявление (количественное или качественное) какого-либо признака у испытуемых, то есть что-либо измерять или устанавливать наличие (отсутствие). Таким образом, молодой учёный оказывается обладателем целого ряда (нескольких рядов) численных значений и имеет возможность стать также и математиком.

Простейшие математические процедуры, известные из курса элементарной (школьной) математики, как то: подсчёт общего числа испытуемых в какой-либо группе, вычисление процентного содержания, то есть так называемая описательная статистика, безусловно необходимы, но далеко не достаточны для научного исследования. Даже если были получены очень хорошие результаты, например: до эксперимента в группе у 35% испытуемых проявлялся какой-либо признак (высокий уровень тревожности и т.д.), а после эксперимента – всего лишь у 5%. Предъявление результатов эксперимента на данном уровне (описательной статистики) не может служить доказательством эффективности экспериментального воздействия.

Наряду с описательной статистикой должны быть использованы статистические методы более высокого уровня – подсчёт различных критериев или коэффициентов. Каждый из них предназначен для «своей» области. Для одного и того же случая могут оказаться применимыми не один, а целый ряд методов. Какие это методы и как их использовать, каковы области их применения – на эти вопросы даны ответы в данном пособии.

Пособие содержит описание лишь некоторых статистических методов, на наш взгляд, наиболее адекватных научному исследованию на начальных этапах – на уровне курсовой работы по психологии или выпускной квалификационной работы по психологии и педагогике. В ходе описания каждого метода математической статистики сохраняется логика изложения: приводится описание и назначение метода, условия и алгоритм его применения. В завершении рассматривается пример с подробным решением, доказательством психологической гипотезы данным методом математической статистики. В пособие включён раздел «Задания для самостоятельного решения», предназначенный для использования на практических и семинарских занятиях по предмету «Математические основы психологии».

Материал пособия отобран из основных признанных и современных учебников и учебных пособий по дисциплине. В наибольшей степени это относится к учебнику «Математическая статистика для психологов» О. Ю. Ермолаева и работе «Методы математической обработки в психологии» Е. В. Сидоренко. Это очень разные книги: и написаны различным языком, и ориентированы на очень разные сферы. На наш взгляд, если вы хотите расширить свои знания по математическим методам (рассмотреть не один, а несколько примеров, познакомиться с другими методами на уровне нашего пособия) – используйте учебник О. Ю. Ермолаева. Если же ваша задача – пойти «вглубь»: узнать о смысле метода, представить его графическую интерпретацию, познакомиться с другими обозначениями величин – вам необходим учебник Е. В. Сидоренко. Последний содержит, кроме этого, и интересные, нестандартные психологические задачи, взятые «из жизни».

Обе указанные работы содержат справочные таблицы так называемых критических значений, без которых невозможно обойтись при работе с математическими методами в психологических и педагогических исследованиях. Часть данного справочного материала, необходимого для работы с отобранными нами в качестве основных методами, приводится и в нашем пособии в разделе «Таблицы критических значений».

Знакомство с методами математической статистики предваряют три первых темы данного пособия, в которых определяется понятийный аппарат дисциплины, отрабатываются основные навыки, необходимые для использования методов.

В конце пособия представлены темы для рефератов по дисциплине «Математические основы психологии» и список рекомендуемой литературы.

 

ТЕМА №1. Понятие измерения в психологии. Измерительные шкалы.

Понятие измерения.

Единица измерения – условный эталон для осуществления тех или иных измерительных процедур. В естественных науках и технике существуют стандартные единицы измерения… Кодирование – это такая операция, с помощью которой экспериментальным данным придаётся форма числового сообщения…

Измерительные шкалы.

1) номинативная, номинальная или шкала наименований; 2) порядковая, ординарная или ранговая шкала; 3) интервальная или шкала равных интервалов;

Номинативная шкала (номинальная, шкала наименований).

Примеры: разбиение людей по четырём типам темперамента (сангвиник, холерик, флегматик, меланхолик); нумерация игроков спортивной команды; выбор… Частный случай номинативной шкалы (самый простой): дихотомическая шкала.… Примеры: мальчик или девочка; ребёнок из полной или из неполной семьи; экстраверт или интроверт и т.д.

Порядковая (ранговая, ординарная) шкала.

Особенность шкалы – вся совокупность измеренных признаков расчленяется на такие множества, которые связаны между собой отношением сравнения («больше – меньше», «выше – ниже», «сильнее – слабее» и т.д.).

Примеры: школьные оценки от 1 до 5; судейские оценки во время конкурсов и соревнований; значимость ценностей для индивида и т.д.

В порядковой (ранговой) шкале должно быть не меньше 3-х классов, чтобы можно было расставить измеренные признаки по порядку. От классов просто перейти к цифрам, если считать, что низший класс получает ранг (код или цифру) 1, средний – 2, высший – 3 (или наоборот). Числа в ранговых шкалах обозначают лишь порядок следования признаков, а операции с числами в этой шкале – это операции с рангами.

В ранговой шкале применяется множество разнообразных статистических методов. Наиболее часто применяются:

1) коэффициенты корреляции Спирмена и Кэндалла;

2) разнообразные критерии различия.

Шкала интервалов (интервальная шкала).

Особенность шкалы – каждое из возможных значений измеренных величин отстоит от ближайшего на равном расстоянии; нет естественной точки отсчёта (нуль условен и не указывает на отсутствие измеряемого свойства).

Главное понятие шкалы – интервал (доля или часть измеряемого свойства между двумя соседними позициями на шкале). Размер интервала – величина фиксированная и постоянная на всех участках шкалы. Для измерения посредством данной шкалы устанавливают специальные единицы измерения; в психологии это стены и стенайны.

В интервальной шкале может считаться проведённым исследование по строго стандартизированной тестовой методике.

Пример: стандартизированные тесты интеллекта, где условная единица измерения IQ эквивалентна как при низких, так и при высоких значениях интеллекта.

К экспериментальным данным, полученным в данной шкале, применимо достаточно большое число статистических методов.

 

Шкала отношений (шкала равных отношений).

Особенность шкалы – наличие твёрдо фиксированного нуля, который означает полное отсутствие какого-либо свойства или признака.

Шкала отношений близка к интервальной шкале. Она наиболее информативная, допускает любые математические операции и использование разнообразных статистических методов. В этой шкале производятся точные и сверхточные измерения в физике, химии, математике, микробиологии и т.д., а также в близких к психологии науках: психофизика, психофизиология, психогенетика.

 

Правила ранжирования.

1) Наименьшему числовому значению приписывается ранг 1. 2) Наибольшему числовому значению приписывается ранг, равный количеству… 3) В случае если несколько исходных значений оказываются равными, то им приписывается ранг, равный средней величине…

Вопросы для обсуждения

1. Что называется измерением, единицей измерения? Чем отличается измерение в психологии от измерения в естественных науках и технике?

2. Что такое кодирование? На каких этапах научного исследования психолог работает с числовыми кодами?

3. Какие типы измерительных шкал существуют? Каковы принципиальные различия между типами шкал?

4. Каковы особенности, примеры и частные случаи номинативной шкалы? Каковы другие названия данной шкалы? Какие статистические методы применимы к данной шкале?

5. Ранговая шкала: её особенности, примеры. Другие названия ранговой шкалы. Статистические методы, применимые в ранговой шкале.

6. Что такое ранжирование? Каковы правила ранжирования?

7. Как осуществить проверку правильности ранжирования?

8. Каковы рекомендации по ранжированию большого количества величин?

9. Шкала интервалов: особенности, примеры. Интервал и его размер. Применимость статистических методов к шкале интервалов.

10. Шкала отношений и её отличие от шкалы интервалов. Применимость шкалы отношений в психологии.

11. Вы измеряете согласие девятиклассников на продолжение обучения в профильном классе школы. Школьник может дать ответ «Да» или «Нет». В какой шкале осуществляется данное измерение?

12. Проводится измерение веса и роста младших школьников. В какой шкале осуществляется измерение?

13. Вы определяете быстроту реакции военных лётчиков. Для этого фиксируется время ответа испытуемого на световой сигнал. В какой шкале проводится данное измерение?

14. Какие измерения вы можете провести в своей группе, чтобы они были проведены:

а) в шкале наименований;

б) в ординарной шкале;

в) в интервальной шкале;

г) в шкале равных отношений?

15. Какие психологические методики позволяют осуществлять измерение в шкале интервалов?

 

ТЕМА №2. Выборка. Формы учёта результатов измерений.

2.1. Выборка и её репрезентативность.

Генеральная совокупность – всеобъемлющая группа объектов какой-либо природы.

Примеры: женщины; первоклассники; спортсмены; люди, побывавшие в космосе и т.д.

Теоретически считается, что объём генеральной совокупности не ограничен. Практически – всегда ограничен и может быть различным.

Полное (сплошное) исследование – психологическое исследование, в ходе которого подвергаются изучению все представители генеральной совокупности.

Позволяет получить исчерпывающую информацию, но чаще всего нереально. Обычно проводится частичное (выборочное) исследование.

Частичное (выборочное) исследование – психологическое исследование, в ходе которого подвергаются изучению только некоторые представители генеральной совокупности (выборка).

Выборка – любая подгруппа элементов (испытуемых, респондентов), выделенная из генеральной совокупности для проведения исследования.

Респондент – испытуемый, отдельный индивид из выборки, с которым работает психолог.

Объём выборки - число респондентов в выборке. Обозначается буквой n(или N). Различают малую выборку (до 30 респондентов), среднюю (от 30 до 100), большую (свыше 100 респондентов).

Репрезентативная (представительная) выборка – такая выборка, в которой все основные признаки генеральной совокупности представлены приблизительно в той же пропорции и с той же частотой, с которой данный признак выступает в данной генеральной совокупности. (Это меньшая по размеру, но точная модель генеральной совокупности).

 

Виды соотношений выборок

2) Зависимые (связные) выборки. Если процедура эксперимента и полученные результаты одной выборки оказывают влияние на другую выборку. Одна и…   2.2. Формы учёта результатов измерений.

Вопросы для обсуждения

1. Дайте определение генеральной совокупности и приведите примеры генеральных совокупностей. Каков объём генеральной совокупности?

2. В чём заключается полное психологическое исследование? В каких случаях оно возможно? В чём преимущество и недостатки такого исследования?

3. Выборка и её объём. Репрезентативность выборки. Респондент. Выборочное исследование.

4. В чём различие между понятиями «независимые выборки» и «несвязные выборки»? Между «независимые выборки» и «зависимые выборки»?

5. В вашей группе проведены два исследования: на выявление мотивов учения и определение типа темперамента. Со сколькими выборками пришлось в данном случае работать исследователю?

6. Что называется группировкой экспериментального материала? Каковы возможные виды группировки?

7. Каковы отличия простых статистических таблиц от сложных? Как проверить правильность составления данных таблиц?

8. Что называется статистическим рядом?

9. Что называется вариантой, её частотой и относительной частотой?

10. Как представить относительную частоту в процентах? Как проверить правильность составления статистического ряда?

11. Многопольные таблицы. Приведите пример четырёхпольной, восьмипольной таблиц. Может ли таблица быть семипольной?

ТЕМА №3. Числовые характеристики распределений. Нормальное распределение.

Мода и медиана. Среднее арифметическое.

Для экспериментальных данных, полученных по выборке, можно вычислить ряд числовых мер. Это мода, медиана, среднее арифметическое, разброс выборки, дисперсия, стандартное отклонение.

Мода – такое числовое значение, которое встречается в выборке наиболее часто. Обозначается иногда как (или Мо).

 

Пример 3.1. Определить моду в ряду значений: (2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10).

Решение: модой является число 9, т.к. 9 встречается чаще других значений. =9.

Правила нахождения моды

2) Когда 2 соседних (смежных) значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, мода вычисляется как среднее… Пример 3.2.Имеется ряд значений: (1, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 6). Частоты смежных… 3) Если два несмежных (не соседних) значения в выборке имеют равные значения, которые больше частот любого другого…

Разброс выборки, дисперсия, стандартное отклонение.

Разброс (размах) выборки – это разность между максимальной и минимальной величинами данного конкретного вариационного ряда: R = Xmax - Xmin Чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина R, и наоборот.

Число степеней свободы.

Число степеней свободы (n) – это число свободно варьирующих единиц в составе выборки. Оно равно числу классов вариационного ряда минус число условий, при которых он был сформирован. К числу таких условий относятся объём выборки (n), средние и дисперсии.

Число степеней свободы у выборочного ряда определяется:

n = n – 1, где n – общее число элементов ряда (выборки).

При наличии не одного, а нескольких ограничений свободы вариации, число степеней свободы определяется по формуле:

ν = n – k, где k – число ограничений свободы вариации.

Для таблицы экспериментальных данных число степеней свободы определяется следующим образом:

ν = (c – 1) (n – 1), где c – число столбцов, а n – число строк таблицы (число испытуемых).

Для ряда статистических методов подсчёт числа степеней свободы оказывается необходимым и рассчитывается по-своему.

 

Понятие нормального распределения.

Особое место в статистике занимает нормальное распределение. График нормального распределения представляет собой колоколообразную кривую. Форма и… Для нормального распределения характерно совпадение величин средней… Ещё одна особенность нормального распределения: чем больше величина признака отклоняется от среднего значения, тем…

Вопросы для обсуждения

1. Мода и правила её нахождения. Какая выборка называется мономодальной, бимодальной, полимодальной?

2. Что можно назвать модой признака «оценка за экзамен в последнюю сессию» в вашей группе?

3. Медиана и правила её нахождения.

3. Среднее арифметическое, взвешенная средняя. Преимущества и недостатки средних значений при характеристике выборки.

4. Разброс выборки. Связь между размахом выборки и силой варьирования признака.

5. Дисперсия и стандартное отклонение. Их смысл и правила вычисления.

6. Число степеней свободы и правила его вычисления.

7. Распределение признака. Ряд распределения.

8. Нормальное распределение, его особенности. Распространённость нормального распределения в психологии.

 

ТЕМА №4. Общие принципы проверки статистических гипотез.

Проверка статистических гипотез. Нулевая и альтернативная гипотезы.

Полученные в результате эксперимента (на какой-либо выборке) данные служат основанием для формулировки некоего предположения о свойствах генеральной… Статистическая гипотеза – это научная гипотеза, допускающая статистическую… Математическая статистика – это научная дисциплина, задачей которой является научно обоснованная проверка…

Понятие уровня статистической значимости.

Для обозначения этой вероятности употребляют либо латинскую букву Р, либо греческую букву α. В прикладных науках, использующих статистику,… Р = 0,05 означает, что допускается 5 ошибок в выборке из 100 элементов (1… Для каждого статистического метода существуют соответствующие таблицы (их можно найти в приложениях к любому учебнику…

Этапы принятия статистического решения.

1. Формулировка нулевой и альтернативной гипотез. 2. Определение объёма выборки N. 3. Выбор соответствующего уровня значимости или вероятности отклонения нулевой гипотезы. (Это может быть величина…

Вопросы для обсуждения

1. Что называется статистической гипотезой, математической статистикой?

2. Что называется нулевой гипотезой и альтернативной гипотезой? Каковы их обозначения и смысл?

3. В каких случаях гипотеза отклоняется или не отклоняется? Каковы возможные ошибки в этих случаях?

4. Что называется уровнем значимости? Как обозначается уровень значимости, каковы возможные его значения? Каков смысл этих значений?

5. Какой из уровней значимости выше: 0,05 или 0,01?

6. Что такое «ось значимости»? Как определяется её направление? Какие зоны выделяют на оси значимости?

7. Как определить критические значения для какого-либо статистического метода? Сколько их существует?

8. О чём свидетельствует попадание эмпирического значения в зону значимости?

9. О чём свидетельствует попадание эмпирического значения в зону незначимости?

10. О чём свидетельствует попадание эмпирического значения в зону неопределённости?

11. Каковы этапы принятия статистического решения?

12. Как находится эмпирическое значение какой-либо статистической величины?

13. Вы измеряете уровень тревожности в двух первых классах. Какие гипотезы вы можете сформулировать?

14. Вы проверяете уровень тревожности и уровень креативности у сотрудников фирмы. Какие гипотезы вы можете сформулировать?

15. Вы определяете отношение уровня интеллекта школьника к среднему уровню интеллекта всего класса. Какие гипотезы вы формулируете?

16. Какие эмпирические исследования соответствуют следующим гипотезам:

Н₀: Уровень подготовленности к школе у выпускников детского сада не выше, чем у детей, не посещавших детские дошкольные учреждения?

Н₁: Уровень подготовленности к школе у выпускников детского сада выше, чем у детей, не посещавших детские дошкольные учреждения?

17. Назовите ошибки, допущенные при формулировке следующих гипотез:

Н₀: Уровень интеллекта у мальчиков младшего школьного возраста выше, чем у девочек того же возраста.

Н₁: Уровень интеллекта у мальчиков младшего школьного возраста ниже, чем у девочек того же возраста.

Сформулируйте гипотезы правильно.

 

 

ТЕМА №5. Статистические критерии различий. Непараметрические критерии для связных выборок.

Понятие о критериях различия. Параметрические и непараметрические критерии.

Существует достаточно большое количество критериев различия. Каждый из них имеет свою специфику, различаясь между собой по различным основаниям: 1) Тип измерительной шкалы. 2) Максимальный объём выборки, количество выборок.

Рекомендации к выбору критерия различий

*Определить связность (несвязность) выборки.

*Определить однородность (неоднородность) выборки.

* Оценить объём выборки, выбрать критерий по данному признаку.

* Начать работу с наименее трудоёмкого критерия.

* Если использованный критерий не выявил различий, применить более мощный, но одновременно более трудоёмкий критерий.

* Если в распоряжении психолога имеется несколько критериев, то следует выбирать тот, который наиболее полно использует информацию, содержащуюся в экспериментальных данных.

* При малом объёме выборки следует увеличивать величину уровня значимости (не менее 1%), т.к. небольшая выборка и низкий уровень значимости приводят к увеличению вероятности принятия ошибочных решений.

 

Непараметрические критерии для связных выборок.

  2. Парный критерий Т – Вилкоксона. Этот критерий является более мощным, чем…  

Критерий знаков G.

Назначение и описание критерия

При подсчёте данного критерия используется понятие «сдвиг». Сдвиг – это величина разности между значениями признака одного и того же участника… Смысл критерия состоит в анализе соотношения положительных и отрицательных… - сумма сдвигов, получившаяся наибольшей (типичный сдвиг) - n, Gкр. Находится по Таблице 1;

Условия применения критерия знаков G

2) Выборка должна быть однородной и связной. 3) Число элементов в сравниваемых выборках должно быть равным. 4) G критерий знаков может применяться при величине типичного сдвига от 5 до 300.

Назначение и описание критерия

Этот критерий применим в тех случаях, когда признаки измерены по крайней мере по шкале порядка, и сдвиги между вторым и первым замерами тоже могут… Суть метода состоит в том, что сопоставляется выраженность сдвигов в том или… Гипотезы при использовании парного критерия Т – Вилкоксона формулируются следующим образом:

Вопросы для обсуждения

1. Каково назначение критериев различий? Какова их специфика и основания для классификации?

2. Что такое «мощность критерия различий»? Как мощность критерия связана с его сложностью?

3. Чем отличаются параметрические и непараметрические критерии различий? Какие критерии более универсальны?

4. Каковы рекомендации к выбору критерия различий?

5. Назовите основные непараметрические критерии для связных выборок. Каковы области их применения и назначение?

6. Каково назначение критерия знаков G? В чём состоит смысл данного критерия? Какова формулировка статистических гипотез?

7. Каковы условия применения критерия знаков G?

8. Каков алгоритм подсчёта критерия знаков G?

9. Каково назначение парного критерия Т - Вилкоксона? В чём состоит смысл данного критерия? Какова формулировка статистических гипотез?

10. Каковы условия применения парного критерия Т - Вилкоксона?

11. Каков алгоритм подсчёта парного критерия Т - Вилкоксона?

12. Что называется «сдвигом» при измерении какого-либо признака? Какой сдвиг называется типичным, какой нетипичным?

13. Проведите сопоставительный анализ критерия знаков G и парного критерия Т – Вилкоксона.

 

 

ТЕМА №6. Непараметрические критерии для несвязных выборок.

Критерии для несвязных выборок.

Для оценки достоверности различий между несвязными выборками используют ряд непараметрических критериев:   1. Критерий U Вилкоксона – Манна – Уитни. (U-критерий Манна – Уитни). Применяется для оценки различий выраженности…

Назначение и описание критерия

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Первым рядом (выборкой, группой) называют тот ряд… Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что… Формулировка статистических гипотез:

Назначение и описание критерия

Критерий используется для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. В каждой из выборок должно быть не менее 11 испытуемых. Это очень простой непараметрический критерий, который позволяет быстро оценить различия между двумя выборками. Однако если критерий Q не выявляет достоверных различий, это ещё не значит, что их действительно нет.

Критерий применяется в тех случаях, когда данные представлены по крайней мере в порядковой шкале. Признак должен варьировать в каком-то диапазоне значений, иначе сопоставления с помощью Q – критерия просто невозможны. Метод Розенбаума требует, следовательно, достаточно тонко измеренных признаков.

 

Условия применения Q-критерия Розенбаума

2) Выборки должны быть независимыми. 3) В каждой из выборок должно быть не меньше 11 испытуемых. 4) Приведённая в данном пособии таблица ограничивает верхний предел выборки 26 испытуемыми. При числе наблюдений n1 и…

Вопросы для обсуждения

1. Назовите основные непараметрические критерии для несвязных выборок. Каковы области их применения?

2. Каково назначение U-критерия Манна – Уитни? Каков смысл данного критерия? Какова формулировка статистических гипотез?

3. Каковы условия применения U-критерия Манна – Уитни?

4. Каков алгоритм подсчёта U-критерия Манна – Уитни?

5. Каково назначение критерия Q Розенбаума? Каков смысл данного критерия? Какова формулировка статистических гипотез?

6. Каковы условия применения критерия Q Розенбаума?

7. Каков алгоритм подсчёта критерия Q Розенбаума?

8. Провести сопоставительный анализ критерия Q Розенбаума и U-критерия Манна – Уитни.

 

 

ТЕМА №7. Критерии согласия распределений.

Понятие о критериях согласия.

Критерии согласия распределений – статистические методы, имеющие наиболее широкий спектр решаемых задач по сравнению с критериями различия. Они являются наиболее мощными и, соответственно, более сложными при расчетах.

 

Задачи, решаемые с помощью критериев согласия

1) Расчёт согласия эмпирического и предполагаемого теоретического.

Н₀ – отсутствие различий между теоретическим и эмпирическим распределениями.

2) Расчёт однородности двух независимых экспериментальных выборок. Н₀ – отсутствие различий между двумя эмпирическими (экспериментальными) распределениями.

В этом случае критерий согласия выступает в роли критерия различий, как параметрического, так и непараметрического.

3) Сравнение показателей внутри одной выборки по двум или более показателям. Н₀ – сравниваемые признаки не влияют друг на друга.

В этом случае критерий согласия выступает в роли коэффициента корреляции.

Критерии согласия распределений

  2. Критерий Колмогорова-Смирнова. Измерение может быть проведено в шкале…  

Критерий хи-квадрат.

Назначение и описание критерия

Основная расчётная формула критерия хи-квадрат выглядит так: c2эмп = , где fэ- эмпирическая частота,

Условия применения критерия хи-квадрат

1) Объём выборки должен быть достаточно большим: n≥ 20. При n< 20 критерий c² даёт весьма приближённые значения. Точность критерия повышается при больших n.

2) Измерение может быть проведено в любой шкале.

3) Выборки должны быть случайными и независимыми.

4) Теоретическая частота для каждого выборочного интервала не должна быть меньше 5.

5) Сумма наблюдений по всем интервалам должна быть равна общему количеству наблюдений.

6) Таблица критических значений критерия c² рассчитана для числа степеней свободы n, которое каждый раз рассчитывается по определённым правилам.

Решение задач

Сравнение двух экспериментальных распределений.

  Пример 7.1. Одинаков ли уровень подготовленности учащихся в двух школах, если… Решение: Условия задачи можно представить в виде четырёхпольной таблицы (Таблица 1), в которой ячейки обозначаются как…

Сравнение двух экспериментальных выборок.

Решение: Результаты контрольных работ представлены в таблице.   Школы Оценки Суммы … Формулировка гипотез:

Назначение и описание критерия

Критерий Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Критерий оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий нас эффект.

Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах. Большей процентной доле будет соответствовать больший угол j, а меньшей доле – меньший угол, но соотношения здесь не линейные:

j = 2·arcsin , где Р – процентная доля, выраженная в долях единицы.

Формулировка гипотез:

Н₀: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 не больше, чем в выборке 2.

Н₁: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 не больше, чем в выборке 2.

 

Условия применения критерия Фишера - j

2) Верхний предел в критерии j отсутствует – выборки могут быть сколь угодно большими. 3) Нижний предел – 2 наблюдения в одной из выборок. Однако должны соблюдаться… а) если в одной из выборок всего 2 наблюдения, то во второй должно быть не менее 30;

Вопросы для обсуждения

1. Какие статистические методы называются критериями согласия распределений? Каковы задачи, решаемые с помощью данных методов?

2. Назовите основные критерии согласия распределений? В чём состоят их различия?

3. Каково назначение критерия хи-квадрат? В чём состоит смысл данного метода? Какова формулировка гипотез?

4. Каковы условия применения критерия хи-квадрат?

5. Какие основные типы задач решаются с помощью применения критерия хи-квадрат? Какова формулировка гипотез?

6. Каково назначение критерия Фишера - φ? В чём состоит смысл данного метода? Какова формулировка гипотез? Почему данный критерий называется угловым преобразованием Фишера?

7. Каковы условия применения критерия Фишера - φ?

8. Какие основные типы задач решаются с помощью применения критерия Фишера - φ?

9. Каков алгоритм подсчёта критерия Фишера - φ?

 

 

ТЕМА №8. Корреляционный анализ.

Коэффициенты корреляции Пирсона и Спирмена.

Понятие корреляционной связи.

В математике для описания связей между переменными величинами используется понятие функции: Y = F (X), которая ставит в соответствие значениям… Корреляционная связь – это согласованное изменение двух признаков, отражающее… Она линейная, если с увеличением (убыванием) одной переменной X вторая переменная Y также либо растёт, либо убывает.…

Коэффициенты корреляции.

  Величина любого коэффициента корреляции лежит в отрезке от -1 до +1. Если… Если коэффициент корреляции по модулю близок к 1, это свидетельствует о высоком уровне связи между переменными. Если…

Общая классификация корреляционных связей

1) сильная, или тесная корреляционная связь (при r>0,70);

2) средняя (при 0,50<r<0,69);

3) умеренная (при 0,30<r<0,49);

4) слабая (при 0,20<r<0,29);

5) очень слабая (при r<0,19).

Частная классификация корреляционных связей

1) высокая значимая корреляция (при r, соответствующем уровню статистической значимости p≤0,01);

2) значимая корреляция (при r, соответствующем уровню статистической значимости p≤0,05);

3) тенденция достоверной связи (при r, соответствующем уровню статистической значимости p≤0,10);

4) незначимая корреляция (при r, не достигающем уровня статистической значимости).

Существуют методы расчёта уровня статистической значимости коэффициентов корреляции. Для коэффициентов r_xy Пирсона и ρ_xy Спирмена существуют таблицы критических значений (Таблица 7иТаблица 8). Именно эти коэффициенты рассматриваются в данном пособии.

Ранговый коэффициент линейной корреляции Спирмена.

Назначение и описание метода

Для подсчёта ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений (X и Y), которые могут быть проранжированы. Такими рядами могут… 1) два признака, измеренные в одной и той же группе испытуемых; 2) две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых по одному и тому же набору признаков (например,…

Условия применения коэффициента ранговой корреляции Спирмена

2. Характер распределения коррелируемых величин не имеет значения. 3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть… 4. Таблицы для определения критических значений коэффициента корреляции Спирмена (Таблица 8) рассчитаны на n от 5 до…

Коэффициент линейной корреляции Пирсона.

Назначение и описание критерия

При вычислении коэффициента не используется ранжирование, поэтому его расчёт является более простым, чем коэффициента ранговой корреляции. В общем виде формула для подсчёта коэффициента корреляции Пирсона выглядит… rxy = , где и - средние значения переменных X и Y. Может быть также использована модификация этой формулы:

Условия применения коэффициента линейной корреляции Пирсона

2) Распределения переменных X и Y должны быть близки к нормальному. 3) Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных должно быть… 4) Таблицы уровней значимости для коэффициента корреляции (Таблица 7) рассчитаны от n = 5 до n = 1000. Оценка уровня…

Вопросы для обсуждения

1. Что такое «корреляционня связь»? В чём отличие функциональной и корреляционной зависимости?

2. Какая корреляционная связь называется линейной, положительной, отрицательной, нулевой?

3. Каковы основные коэффициенты корреляции и основание для их классификации? Какова область значений коэффициента корреляции?

4. Какова общая классификация корреляционных связей?

5. Какова частная классификация корреляционных связей?

6. Какова корреляционная связь, если коэффициент корреляции:

а) r = 0,55;

б) r = 0,05;

в) r = 0,55 (Р ≤ 0,05);

г) r = 0,75 (Р ≤ 0,01);

д) r = 0,75 (Р ≤ 0,001).

7. Каково назначение рангового коэффициента корреляции Спирмена? Каков смысл данного метода? Какова формулировка гипотез?

8. Каковы условия применения рангового коэффициента корреляции Спирмена?

9. Каков алгоритм подсчёта рангового коэффициента корреляции Спирмена?

10. Каковы основные типы задач, решаемые методом ранговой корреляции?

11. Каково назначение коэффициента линейной корреляции Пирсона? Каков смысл данного метода? Какова формулировка гипотез?

12. Каковы условия применения коэффициента линейной корреляции Пирсона?

13. Каков алгоритм подсчёта коэффициента линейной корреляции Пирсона? 14. Проведите сопоставительный анализ коэффициентов корреляции Спирмена и Пирсона.

15. Вы хотите выявить корреляционную связь между уровнем самоактуализации и уровнем профессионального выгорания педагогов школы. В вашей выборке 35 педагогов. Какой статистический метод вы примените?

16. Что необходимо изменить в условиях вашего исследования, чтобы можно было применить другой метод выявления корреляционной связи?

17. Вы выявили, что существует корреляционная связь между уровнем развития абстрактного мышления и возрастом учеников. Можно ли назвать данную связь зависимостью? Что, в таком случае, будет являться независимой переменной, а что зависимой?

 

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

  №2.Во время экзамена в группе из 20 студентов получено 4 пятёрки, 10 четвёрок,…  

ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ

2. Непараметрические критерии для связных выборок. Критерий тенденций Пейджа. 3. Непараметрические критерии для связных выборок. Критерий Макнамары. 4. Непараметрические критерии для несвязных выборок. Критерий тенденций Джонкира.

ТАБЛИЦЫ КРИТИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ

Таблица 1.

Критические значения критерия знаков G

 

Таблица 2.

Критические значения критерия Т Вилкоксона

Таблица 3.

Критические значения критерия U Манна-Уитни

Продолжение таблицы 3.

P = 0,05

n1

P = 0,01

n1

Таблица 4.

Критические значения критерия Q Розенбаума

Таблица 5.

Критические значения критерия χ² Пирсона

ν	p	ν	p	ν	p
0,05	0,01	0,05	0,01	0,05	0,01
	3,841	6,635		49,802	57,342		89,391	99,227
	5,991	9,210		50,998	58,619		90,631	100,425
	7,815	11,345		52,192	59,892		91,670	101,621
	9,488	13,277		53,384	61,162		92,808	102,816
	11,070	15,086		54,572	62,428		93,945	104,010
	12,592	16,812		55,758	63,691		95,081	105,202
	14,067	18,475		56,942	64,950		96,217	106,393
	15,507	20,090		58,124	66,206		97,351	107,582
	16,919	21,666		59,304	67,459		98,484	108,771
	18,307	23,209		60,481	68,709		99,617	109,958
	19,675	24,725		61,656	69,957		100,749	111,144
	21,026	26,217		62,830	71,201		101,879	112,329
	22,362	27,688		64,001	72,443		103,010	113,512
	32,685	29,141		65,171	73,683		104,139	114,695
	24,996	30,578		66,339	74,919		105,267	115,876
	26,296	32,000		67,505	76,154		106,395	117,057
	27,587	33,409		68,669	77,386		107,522	118,236
	28,869	34,805		69,832	78,616		108,648	119,414
	30,144	36,191		70,993	79,843		109,773	120,591
	31,410	37,566		72,153	81,069		110,898	121,767
	32,671	38,932		73,311	82,292		112,022	122,942
	33,924	40,289		74,468	83,513		113,145	124,116
	35,172	41,638		75,624	84,733		114,268	125,289
	36,415	42,980		76,778	85,950		115,390	126,462
	37,652	44,314		77,931	87,166		116,511	127,633
	38,885	45,642		79,082	88,379		117,632	128,803
	40,113	46,963		80,232	89,591		118,752	129,973
	41,337	48,278		81,381	90,802		119,871	131,141
	42,557	49,588		82,529	92,010		120,990	132,309
	43,773	50,892		83,675	93,217		122,108	133,476
	44,985	52,191		84,821	94,422		123,225	134,642
	46,194	53,486		85,965	95,626		124,342	135,801
	47,400	54,776		87,108	96,828
	48,602	56,061		88,250	98,028

 

Таблица 6.

Величины угла φ (в радианах) для разных процентных долей:

φ = 2 arcsin

% доля
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	0,000 0,063 0,089 0,110 0,127 0,142 0,155 0,168 0,179 0,190	0,020 0,066 0,092 0,111 0,128 0,143 0,156 0,169 0,180 0,191	0,028 0,069 0,094 0,113 0,130 0,144 0,158 0,170 0,182 0,193	0,035 0,072 0,096 0,115 0,131 0,146 0,159 0,171 0,183 0,193	0,040 0,075 0,098 0,117 0,133 0,147 0,160 0,172 0,184 0,194	0,045 0,077 0,100 0,118 0,134 0,148 0,161 0,173 0,185 0,195	0,049 0,080 0,102 0,120 0,136 0,150 0,163 0,175 0,186 0,196	0,053 0,082 0,104 0,122 0,137 0,151 0,164 0,176 0,187 0,197	0,057 0,085 0,106 0,123 0,139 0,153 0,169 0,177 0,188 0,198	0,060 0,087 0,108 0,125 0,140 0,154 0,166 0,178 0,189 0,199
	0,200 0,284 0,348 0,403 0,451 0,495 0,536 0,574 0,609 0,644	0,210 0,291 0,354 0,408 0,456 0,499 0,539 0,577 0,613 0,647	0,220 0,298 0,360 0,413 0,460 0,503 0,543 0,581 0,616 0,650	0,229 0,304 0,365 0,418 0,465 0,507 0,547 0,584 0,620 0,653	0,237 0,311 0,371 0,423 0,469 0,512 0,551 0,588 0,623 0,657	0,246 0,318 0,376 0,428 0,473 0,516 0,555 0,592 0,627 0,660	0,254 0,324 0,382 0,432 0,478 0,520 0,559 0,595 0,630 0,663	0,262 0,330 0,387 0,437 0,482 0,524 0,562 0,599 0,633 0,666	0,269 0,336 0,392 0,442 0,486 0,528 0,566 0,602 0,637 0,670	0,277 0,342 0,398 0,446 0,491 0,532 0,570 0,606 0,640 0,673
	0,676 0,707 0,738 0,767 0,795 0,823 0,850 0,876 0,902 0,927	0,679 0,711 0,741 0,770 0,798 0,826 0,853 0,879 0,905 0,930	0,682 0,714 0,744 0,773 0,801 0,828 0,855 0,881 0,907 0,932	0,686 0,717 0,747 0,776 0,804 0,831 0,858 0,884 0,910 0,935	0,689 0,720 0,750 0,778 0,807 0,834 0,861 0,887 0,912 0,937	0,692 0,723 0,752 0,781 0,809 0,837 0,863 0,889 0,915 0,940	0,695 0,726 0,755 0,784 0,812 0,839 0,866 0,892 0,912 0,942	0,698 0,729 0,758 0,787 0,815 0,842 0,868 0,894 0,920 0,945	0,701 0,732 0,761 0,790 0,818 0,845 0,871 0,897 0,922 0,947	0,704 0,735 0,764 0,793 0,820 0,847 0,874 0,900 0,925 0,950
	0,952 0,976 1,000 1,024 1,047 1,070 1,093 1,115 1,137 1,159	0,955 0,979 1,003 1,026 1,050 1,072 1,095 1,117 1,140 1,161	0,957 0,981 1,005 1,029 1,052 1,075 1,097 1,120 1,142 1,164	0,959 0,984 1,007 1,031 1,054 1,077 1,100 1,122 1,144 1,166	0,962 0,986 1,010 1,033 1,056 1,079 1,102 1,124 1,146 1,168	0,964 0,988 1,012 1,036 1,059 1,082 1,104 1,126 1,148 1,170	0,967 0,991 1,015 1,038 1,061 1,084 1,106 1,129 1,151 1,172	0,969 0,993 01,017 1,040 1,063 1,086 1,109 1,131 1,153 1,174	0,972 0,996 1,019 1,043 1,066 1,088 1,111 1,133 1,155 1,177	0,974 0,998 1,022 0,042 1,068 1,091 0,113 1,135 1,157 1,179

 

% доля
	1,182 1,203 1,224 1,245 1,266 1,287 1,308 1,328 1,349 1,369	1,183 1,205 1,226 1,247 1,268 1,289 1,310 1,330 1,351 1,371	1,185 1,207 1,228 1,249 1,270 1,291 1,312 1,333 1,353 1,374	1,187 1,209 1,230 1,251 1,272 1,293 1,314 1,335 1,355 1,376	1,190 1,211 1,232 1,254 1,274 1,295 1,316 1,337 1,357 1,378	1,192 1,213 1,234 1,256 1,277 1,297 1,318 1,339 1,359 1,380	1,194 1,215 1,237 1,258 1,279 1,299 1,320 1,341 1,361 1,382	1,196 1,217 1,239 1,260 1,281 1,302 1,322 1,343 1,363 1,384	1,198 1,220 1,241 1,262 1,283 1,304 1,324 1,345 1,365 1,386	1,200 1,222 1,243 1,264 1,285 1,306 1,326 1,347 1,367 1,388
	1,390 1,410 1,430 1,451 1,471 1,491 1,511 1,531 1,551 1,571	1,392 1,412 1,432 1,453 1,473 1,493 1,513 1,533 1,553 1,573	1,394 1,414 1,434 1,455 1,475 1,495 1,515 1,535 1,555 1,575	1,396 1,416 1,436 1,457 1,477 1,497 1,517 1,537 1,557 1,577	1,398 1,418 1,438 1,459 1,479 1,499 1,519 1,539 1,559 1,579	1,400 1,420 1,440 1,461 1,481 1,501 1,521 1,541 1,561 1,581	1,402 1,422 1,442 1,463 1,483 1,503 1,523 1,543 1,563 1,583	1,404 1,424 1,444 1,465 1,485 1,505 1,525 1,545 1,565 1,585	1,406 1,426 1,446 1,467 1,487 1,507 1,527 1,547 1,567 1,587	1,408 1,448 1,469 1,489 1,509 1,549 1,569 1,589
	1,591 1,611 1,631 1,651 1,671 1,691 1,711 1,731 1,752 1,772	1,593 1,313 1,633 1,653 1,673 1,693 1,713 1,734 1,754 1,774	1,595 1,615 1,635 1,655 1,675 1,695 1,715 1,736 1,756 1,776	1,597 1,617 1,637 1,657 1,677 1,697 1,717 1,738 1,758 1,778	1,599 1,619 1,639 1,659 1,679 1,699 1,719 1,740 1,760 1,780	1,601 1,621 1,641 1,661 1,681 1,701 1,721 1,742 1,762 1,782	1,603 1,623 1,643 1,663 1,683 1,703 1,723 1,744 1,764 1,784	1,605 1,625 1,645 1,665 1,685 1,705 1,725 1,746 1,766 1,786	1,607 1,627 1,647 1,667 1,687 1,707 1,727 1,748 1,768 1,789	1,609 1,629 1,649 1,669 1,689 1,709 1,729 1,750 1,770 1,791
	1,793 1,813 1,834 1,855 1,875 1,897 1,918 1,939 1,961 1,982	1,795 1,815 1,836 1,857 1,878 1,899 1,920 1,941 1,963 1,984	1,797 1,817 1,838 1,859 1,880 1,901 1,922 1,943 1,965 1,987	1,799 1,819 1,840 1,861 1,882 1,903 1,924 1,946 1,967 1,989	1,801 1,821 1,842 1,863 1,884 1,905 1,926 1,948 1,969 1,991	1,803 1,823 1,844 1,865 1,886 1,907 1,928 1,950 1,971 1,993	1,805 1,826 1,846 1,867 1,888 1,909 1,930 1,952 1,974 1,995	1,807 1,828 1,848 1,869 1,890 1,911 1,933 1,954 1,976 1,998	1,809 1,830 1,850 1,871 1,892 1,913 1,935 1,956 1,978 2,000	1,811 1,832 1,853 1,873 1,894 1,916 1,937 1,958 1,980 2,002
	2,004 2,026 2,049 2,071 2,094 2,118 2,141 2,165 2,190 2,214	2,006 2,029 2,051 2,074 2,097 2,120 2,144 2,168 2,192 2,217	2,009 2,031 2,053 2,076 2,099 2,122 2,146 2,170 2,194 2,219	2,011 2,033 2,056 2,078 2,101 2,125 2,148 2,172 2,197 2,222	2,013 2,035 2,058 2,081 2,104 2,027 2,151 2,175 2,199 2,224	2,015 2,038 2,060 2,083 2,106 2,129 2,153 2,177 2,202 2,227	2,018 2,040 2,062 2,085 2,108 2,132 2,156 2,180 2,204 2,229	2,020 2,042 2,65 2,087 2,111 2,134 2,158 2,182 2,207 2,231	2,022 2,044 2,067 2,090 2,113 2,136 2,160 2,185 2,209 2,234	2,024 2,047 2,069 2,092 2,115 2,139 2,163 2,187 2,212 2,237

Окончание таблицы 6.

Таблица 7.

Критические значения коэффициента корреляции r_xy Пирсона

k=n-2	p		k=n-2	p
0,05	0,01	0,05	0,01
	0,75	0,87		0,37	0,47
	0,71	0,83		0,36	0,46
	0,67	0,80		0,36	0,46
	0,63	0,77		0,35	0,45
	0,60	0,74		0,33	0,42
	0,58	0,71		0,30	0,39
	0,55	0,68		0,29	0,37
	0,53	0,66		0,27	0,35
	0,51	0,64		0,25	0,33
	0,50	0,62		0,23	0,30
	0,48	0,61		0,22	0,28
	0,47	0,59		0,21	0,27
	0,46	0,58		0,20	0,25
	0,44	0,56		0,17	0,23
	0,43	0,55		0,16	0,21
	0,42	0,54		0,14	0,18
	0,41	0,53		0,11	0,15
	0,40	0,52		0,10	0,13
	0,40	0,51		0,09	0,12
	0,39	0,50		0,07	0,10
	0,38	0,49		0,06	0,09
	0,37	0,48		0,06	0,09

 

Таблица 8.

Критические значения коэффициента корреляции рангов Спирмена

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная литература:

1. Ермолаев О. Ю. Математическая статистика для психологов / О. Ю. Ермолаев. – М.: Московский психолого-социальный институт, Флинта, 2003. – 336 с. (Библиотека УлГПУ; Электронный ресурс. – Режим доступа: http://www/pedlib.ru).

2. Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии / Е.В. Сидоренко. - СПб.: Речь, 2001. - 349 с. (Библиотека УлГПУ).

Дополнительная литература:

1. Годин А. М. Статистика: учеб. для вузов / А. М. Годин. - М.: Дашков и К°, 2009. - 457 с. (Библиотека УлГПУ).

2. Математическая психология: Школа В. Ю. Крылова. – М.: Институт психологии РАН, 2010. – 503 с. (Электронный ресурс. – Режим доступа: http://www/knigafund.ru).

3. Романко В. К. Статистический анализ данных в психологии: учебное пособие / В. К. Романко. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. – 313 с. (Электронный ресурс. – Режим доступа: http://www/knigafund.ru).

4. Туганбаев А. А. Задачи по высшей математике для психологов: учеб. пособие для вузов / А. А. Туганбаев. - М.: Флинта: МПСИ, 2008. - 319 с. (Библиотека УлГПУ).

5. Суходольский Г. В. Математическая психология / Г.В. Суходольский. - Харьков: Гуманитарный центр, 2006. - 358 с. (Библиотека УлГПУ).

 

 

Подписано в печать ______________ Формат 60х90 1/16

Бумага офсетная Заказ № ______

Печать оперативная Тираж 500

Усл. печ. л. 4,2

Ротапринт Ульяновского государственного педагогического университета имени И. Н. Ульянова

432700 г. Ульяновск, пл. 100-летия со дня рождения В. И. Ленина, 4