Исходные данные двух эмпирических распределений для сравнения между собой могут быть представлены разными способами. Наиболее простой из этих способов – так называемая «четырёхпольная таблица». Она используется в том случае, когда в первой выборке имеются два значения (числа) и во второй выборке также 2 значения (числа). Критерий позволяет также сравнивать между собой 3, 4 и больше число эмпирических величин.
Пример 7.1. Одинаков ли уровень подготовленности учащихся в двух школах, если в первой школе из 100 человек поступили в вуз 82 человека, а во второй школе из 87 человек поступили в вуз 44?
Решение: Условия задачи можно представить в виде четырёхпольной таблицы (Таблица 1), в которой ячейки обозначаются как А, В, С и Д.
Таблица 1.
| 1 школа | 2 школа | |
| Число поступивших в вуз | А 82 | В 44 |
| Число не поступивших в вуз | С 18 | Д 43 |
| Сумма |
Формулировка гипотез:
Н0: Уровень подготовки учащихся в двух школах не является различным.
Н1: Уровень подготовки учащихся в двух школах является различным.
Алгоритм подсчёта критерия c2 :
1) Имеется 4 эмпирические частоты. Необходимо для каждой из них найти соответствующие «теоретические» частоты. Они вычисляются различными способами в зависимости от типа задачи. В нашем случае: подсчитывается величина Р (доля признака, или частота признака). В нашем случае признак – то, что выпускники не поступили в вуз.
Р = = 0,33
2) Величина Р позволяет рассчитать «теоретические» частоты для третьей строчки таблицы. Они показывают, сколько учащихся из 1 и 2 школ не должны были поступить в вуз:
fm1 = 0,33 . 100 = 33; fm2 = 0,33 . 87 = 28,71
fm3 = 100 - 33 = 67; fm4 = 87 – 28,71 = 58,29
3) Составим новую таблицу с «теоретическими» частотами (Таблица 2):
Таблица 2.
| 1 школа | 2 школа | |
| Число учащихся, которые должны были бы поступить в вуз | А fm3 = 67 | В fm4 = 58,29 |
| Число учащихся, которые не должны были бы поступить в вуз | С fm1 = 33 | Д fm2 = 28,71 |
| Сумма |
4) Подсчитывается величина критерия хи-квадрат эмпирическая подсчитывается по основной формуле. Для этого из величин, представленных в ячейках Таблицы 1, вычитаются соответствующие величины, представленные в ячейках Таблицы 2.
c2эмп = = 20,9
5) Подсчитаем число степеней свободы:
n = (k-1)(c-1) = (2 – 1) (2 – 1) = 1, так как в таблице 2 строки и 2 столбца.
6) По Таблице 5 находим :
c2кр = 3,841 (Р≤ 0,05); c2кр 2 = 6,635 (Р≤ 0,01).
7) Строим ось значимости. c2эмп попадает в зону значимости.
| Зона значимости |
| 0,05 0,01 |
| 3,841 6,635 20,9 |
8) Вывод. Следует принять гипотезу о наличии различий между двумя эмпирическими распределениями. Таким образом, уровень подготовки учащихся в двух школах оказался различным. На основании эмпирических данных теперь можно утверждать, что уровень подготовленности учащихся в первой школе существенно выше, чем во второй.