Задача 2

Построить представление чисел, в котором иррациональные числа приближаются рациональными числами наилучшим образом. Рациональная дробь p/q приближает иррациональное число a наилучшим образом, если для любого рационального числа m/n с n£q выполняется равенство |a–p/q| < |a–m/n|.

Рассмотрим десятичные приближения. Пусть m = a, a, …,a– десятичное приближение с “k” знаками после запятой числа a = a, a, …,a,a,… . Тогда погрешность этого приближения определяется разностью

|a–m/n| = a/10+a/10+…<9/10(1+1/10+…) = 9/10´

1/(1–1/10) = 1/10~1/n.

Для лучших приближений используется представление иррационального числа цепной дробью [6]. Если p/q – конечная цепная дробь, приближающая число a, то ([6, с. 46]), |a–p/q| < 1/q.

Таким образом, представление числа цепной дробью «более экономично», чем представление десятичной дробью.

Напомним, что до сих пор не найдены эффективные алгоритмы арифметических операций для представлений чисел в виде цепных дробей, ([6, с. 29–30]).