2.1. О “Началах” Евклида
Александрийский ученый Евклид, живший в третьем веке до нашей эры, впервые в истории предпринял попытку глобальной систематизации математических фактов. Его “Начала” состояли из 13 книг, которые представляли собой, по существу, главы, посвященные отдельным вопросам математики. В них дано безупречное для того времени построение геометрии. Евклид начинал изложения с определений, постулатов и аксиом. Затем идут теоремы, которые представляют собой умозаключения, основанные на постулатах, аксиомах, определениях и ранее доказанных теоремах.
Математические построения начинаются с 23 определений. Приведем некоторые из них:
· Точка есть то, что не имеет частей
· Линия же – длина без ширины
· Концы линии – точки
· Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней
· Параллельные прямые – это прямые которые находятся в одной плоскости и при неограниченном продолжении ни с той, ни с другой стороны не пересекаются и т.д.
Далее Евклид излагает постулаты и аксиомы, формулировки которых представляют для нас лишь исторический интерес.
Постулаты
1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
2. Каждую прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из любого центра можно описать окружность любым радиусом.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние по одну сторону углы, меньшие в сумме двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.
Аксиомы
1. Равные одному и тому же равны между собой.
2. Если к равным прибавляются равные, то целые будут равны.
3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. Если к неравным прибавляются неравные, то целые будут не равны.
5. Удвоенные одного и того же равны между собой.
6. Половины одного и того же равны между собой.
7. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. Целое больше части.
9. Две прямые не содержат пространства.
Построения оснований геометрии были проделаны Евклидом с большим мастерством. “Начала” Евклида затмили сочинения его предшественников и на протяжении более чем двух тысяч лет “Начала” представляли образец математической строгости.
С точки зрения современной математики дедуктивные построения Евклида не отражают всех отношений между геометрическими элементами, часть определений логически не задействована, а сами доказательства опираются на ряд неопределяемых понятий.
Существуют различные объяснения роли аксиом и постулатов в “Началах”. Постулаты играют роль модельной аксиоматики, а аксиомы “Начал” являются прообразом аксиоматики действительных чисел. На интуитивном уровне “Начала” предвосхищают многие математические построения.
2.2. Аксиоматика Д. Гильберта(1862–1943)
Появилась в 1899 г. и считается одним из современных аксиоматических обоснований евклидовой геометрии. Вся система аксиом состоит из 20 аксиом и содержит 26 требований, которые описывают 5 видов отношений между тремя геометрическими объектами – точками, прямыми и плоскостями. Отметим, что эти геометрические объекты – точки, прямые и плоскости никак не определяются, рассматриваются как первичные понятия, суть которых раскрывается через описываемые отношения. По типам отношений аксиомы образуют 5 групп и формируются следующим образом.