Отрезок АВ имеет бесконечное множество внутренних точек (т.е. точек, лежащих между А и В).
Схема доказательства.
(1) существует точка С, не принадлежащая прямой АВ (акс.3) (рис. 1);
(2) существует точка D на прямой АС и точка C лежит между А и D;
(3) существует прямая ВD, (акс.1–2) и существует точка Е и D лежит между В и Е;
(4) прямая ЕС по аксиоме Паша имеет общую с АВ точку F1 (иначе ЕС совпадет с ЕD).
(5) аналогично доказывается, что на АF1 существует еще одна точка F2, и т.д.
Теорема доказана.
Примечательно то, что для доказательства существования внутренних точек отрезка приходится “выходить” на плоскость. Далее можно определить понятия луча, полуплоскости, угла, многоугольника и т.д.