Аксиомы 1–17 первых трех групп позволяют построить геометрию, в которой на прямой существует последовательность примыкающих друг к другу конгруэнтных отрезков, пронумерованных натуральным рядом. В этой геометрии есть конгруэнтные и правильные фигуры, определено понятие движения, совмещающего конгруэнтные фигуры и т. д.
Но в этой геометрии еще нет понятия параллельного переноса, не определено соответствие между действительными числами и точками прямой. Отсутствуют понятия длины отрезка, площади и объема геометрических фигур. Следовательно, в этой геометрии еще нет понятия расстояния и понятий близости и непрерывности, связанных со свойствами расстояния между точками. Хотя абстрактные понятия близости и непрерывности уже можно вести на языке шаровых окрестностей.
Действительно, шаром В (O, OА) с центром в точке О и радиусом ОА назовем все точки М такие, что ОМ<ОА. Далее, шар В(О,ОА1) Ì B(О,ОА2), если ОА1<ОА2, таким образом, множество окрестностей точки О есть множество всех шаров В(О, ОРк ), kÎN, где Рк– любая точка пространства. Определим последовательность точек МкÎВ(О,ОРк), kÎN условиями а) и b):
а) ОР1>ОР2>…>ОРк>…, что означает последовательность вложенных шаров В(О,ОР1)ÉВ(О,ОР2)É…É В(О,ОРк) É…;
b) МкÏВк+1 "кÎN, что означает выбор каждой последующей точки в следующем вложенном шаре.