Теорема размерности
1. 
Пусть вектор 
параллелен вектору 
1, тогда существует xÎR такое, что =x1.
2. Пусть векторы лежат в плоскости П и 1 не параллелен 2. Тогда всякий вектор 
ÎП есть линейная комбинация векторов 1 и 2:
= х 1 +у2.
3. Пусть векторы 1, 2 и 3 не лежат в одной плоскости. Тогда всякий вектор 
есть их линейная комбинация:
= x1 + y2 + z3
Доказательство проведем только для случая 2.
Выберем произвольную точку О на плоскости П и отложим из нее векторы 1, 2 и . На направления О1 и О2 отложим направленные проекции вектора (рис. 6), обозначив их, соответственно, х2 и у2. Тогда получим требуемое равенство = х 1 +у2. Случай 2 доказан. Случай 1 – тривиален, а случай 3 доказывается аналогично с построением параллелепипеда.
Будем говорить, что векторы 1 и 2 на рис. 6 образуют векторный базис на плоскости векторов, а числа х и у назовем координатами вектора в этом базисе. Аналогично можно определить базис на прямой и в пространстве, используя случаи 1 и 3 рассмотренной теоремы.
Таким образом, каждый вектор имеет свои координаты в заданном базисе и, наоборот, всякая тройка чисел (x,y,z) (в заданном порядке) определяет единственный вектор в этом базисе.