Модель –мерного пространства не содержит понятия длины вектора при . Для определения длины вектора в при воспользуемся связью между длиной вектора и скалярным произведением. При этом скалярное произведение зададим аксиоматически теми свойствами, которыми оно определяется в трехмерном векторном пространстве.
Напомним, что в геометрической модели трехмерного скалярного произведения задается представлением
. (4)
В школьном курсе геометрии из этого представления выводятся три свойства:
1) , ;
2) , и ; (5)
3) ; .