Определение

Отношение Ð(x,y) между элементами множества M называется отношением эквивалентности, обозначим его Ð(x,y)º(x~y), если выполняются три условия:

1. Рефлексивности x~x;

2. Симметричности: если x~y, то y~x;

3. Транзитивности: если, x~y, y~z, то x~z.

Примеры отношений эквивалентности: числовые равенства, конгруэнтность фигур, подобие фигур, параллельность прямых и т.д.

Любое отношение эквивалентности Ð(x,y) для (x,y)ÎM´M определяет новое множество классов эквивалентности: два элемента x,yÎM попадают в один класс тогда и только тогда, когда x~y. Множество классов эквивалентности называется фактор множеством M по отношению Ð и обозначается M/Ð или M/P, что равносильно в силу следствия 1.

Отношение эквивалентности разбивает множество M на непересекающиеся классы. Обратно, всякое разбиение M на непересекающиеся классы задает на M отношение эквивалентности. Действительно, если M=MÈMÈ…ÈM… и MÇM=Æ при i¹j, то отношение принадлежности элементов одному классу (xÎM)Ù(yÎM)ºÐ(x,y) удовлетворяет условиям 1) – 3) отношения эквивалентности.