В главе I рассмотрены системы аксиом:
Пеано для натуральных чисел.
Аксиоматика действительных чисел.
Аксиоматика векторных пространств.
Аксиоматика Гильберта евклидовой геометрии.
Аксиоматика Вейля арифметического евклидова пространства.
Их можно охарактеризовать как системы утверждений T={T1, …, Tn}, задающих системы отношений Ð={Ð1, …, Ðp} между элементами некоторых множеств M1, …, Mp.
Например, 20 аксиом Гильберта T={T1, T2, …,T20} описывают отношения: Ð1 инцидентности, Ð2 порядка, Ð3 конгруэнтности, Ð4 отношения, определяющие свойства непрерывности, Ð5 отношение параллельности. Каждое из этих отношений определено на некоторых из множеств: M1 – множество точек, M2 – множество прямых, M3 – множество плоскостей, M4 – множество отрезков, M5 – множество углов, M6 – множество натуральных чисел. При этом, множества объектов M1, M2, M3 остаются основными, а множества M4, M5, M6 – вспомогательными.
Аналогичным образом, в остальных системах аксиом можно выделить все три указанных понятия: T={T1, …,Tn} – собственно систему аксиом (систему утверждений), Ð ={ Ð1 , …, Ðp} – систему отношений и {M1, …, Mm}=M – систему базовых множеств. Эти понятия вступают в новое отношение, называемое математической структурой.