Замечание 1

Понятия «модель» и «структура» часто используются как понятия «конкретного множества» и «множества с заданными свойствами». Именно в таком контексте мы использовали эти понятия в §3–5. Это не вступает в противоречие с точными определениями этих понятий, приведенными в этом §6.

6.4. Формальная и содержательная аксиоматики.
Теории и структуры

Пусть R(T) – реализация некоторой системы аксиом Т. Рассмотрим подробнее, что означает реализация Rаксиоматической структуры . Согласно определению реализации, данному в предыдущем п. 6.3, объект Rсодержит:

1) некоторые объекты R_i (M_i), являющиеся реализациями базовых множеств M₁…, M_m так, что существует взаимно однозначное соответствие x_ir_i(x_i) между элементами x_iM_i и элементами r_iR_i, i = 1,2,…,m;

2) некоторые отношения p_i(r₁,…, r_m), представляющие или отражающие отношения Ð_i(x₁,…,x_m) соответствующих элементов x_ir_i(x_i);

3) некоторые объекты R(T), представляющие или отражающие в виде некоторых отношений утверждения в системе аксиом Т (обычно R(T) называют реализацией системы аксиом).