Напомним, что планиметрия строится на системе 15 аксиом, включая аксиому параллельности (см. Аксиоматику Д. Гильберта в п.2.2 §2). Пусть Т={T1,...,T14} – система аксиом без аксиомы параллельности, П – аксиома параллельности евклидовой геометрии. В качестве реализации R1(T,П) системы аксиом Т и П возьмем модель R2 – арифметической евклидовой плоскости: R2= R1(T,П). В качестве реализаций R2(T,ùП) возьмем модель Пуанкаре L2= R2(T,ùП). Непротиворечивость этих реализаций сводится, как было замечено в п.7.1, к непротиворечивости арифметики действительных чисел. Существование реализаций R1(T,П) и R2(T,ùП), согласно достаточному условию, сформулированному и доказанному в п.7.2, влечет независимость аксиомы параллельности П евклидовой геометрии от остальных 14 аксиом планиметрии.