Измерить длину диагонали квадрата, считая, что единица длины есть сторона этого квадрата.
Теорема Пифагора дает результат: искомая длина равна . Предположение о том, что = p/q – рациональное число опровергается известным доказательством от противного. Предположим, что = k/q Þ p= 2qÞ p=2k Þ 2q= 4kÞ q = 2m Þ =– сократимая дробь, что противоречит несократимости дроби =p/q.
Заметим, что величина является решением уравнения x–2=0. Действительные рациональные числа, являющиеся решениями алгебраических уравнений
x+ ax+ … +ax + a = 0 (10)
с целочисленными коэффициентами aÎ Z, k=1, …, n, называются алгебраическими числами. Таким образом, число является алгебраическим числом и результатом алгебраической операции – извлечения корня.
Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) доказал (см., например, ([4, с. 63])), что алгебраические числа являются либо целыми числами, либо не представимы в виде p/q ни для каких целых p, q Î Z.