Непротиворечивая, система аксиом называется категоричной, если любые ее модели (реализации) изоморфны.
Рассмотренная выше система аксиом абсолютной геометрии представляет пример некатегоричной системы аксиом, так как существуют две неизоморфные реализации L2 и R2 этой системы.
Приведем без доказательства следующий критерий дедуктивной полноты. Если система аксиом категорична, то она и дедуктивно полна.
Обратное утверждение не справедливо. Существуют примеры дедуктивно полных систем аксиом, у которых имеются неизоморфные реализации (см. далее пример 2 из п.8.8).
7.5. Историческая роль V постулата Евклида
в развитии оснований математики
Исключительная роль V постулата "Начал" Евклида состоит в том, что в течение почти двух тысяч лет предпринимались безуспешные попытки доказательства этого постулата в качестве Теоремы. Около 1826 г. Н. И. Лобачевским была впервые осознана независимость этого утверждения от остальных аксиом геометрии.
Этот факт является историческим моментом в развитии современной Теории оснований математики.
Следующий исторический шаг, совершенный Лобачевским же, состоял в построении непротиворечивой Теории, основанной на принятии утверждения, противоположного постулату параллельности Евклида.
Следующий шаг – принятие математиками этой "мыслимой" геометрии и математическое исследование отношений между Теорией и ее моделью. Этот шаг бы проделан благодаря трудам А. Пуанкаре, Феликса Христиана Клейна (1842–1925), К. Ф. Гаусса и др. математиков ХIХ в.
Эти геометрические открытия второй половины ХIХ в. послужили мощным импульсом исследования аксиоматических начал всей математики.
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1843–1918) предпринял попытку аксиоматического построения Теории множеств. Исследование противоречий языкового характера, с которыми столкнулись математики в его "наивной" Теории множеств, привели к современному пониманию требований, предъявляемых к системам аксиом. Наконец, в 1899 г. появляется практически современная геометрическая аксиоматика Д. Гильберта, которая легла в основу современного математического формализма, названного в математике Гильбертовым формализмом. В современных приложениях геометрии используется аксиоматика А. Вейля арифметической модели евклидова пространства (см. §4).