Проблема выразимости отражает несоответствие естественного и искусственного языков, а также несоответствие между самими искусственными языками, относящимися к моделям разного уровня сложности. Эти несоответствия мы обнаруживаем в виде различных парадоксов.
Парадоксами будем называть текстовое утверждение, логическое следствие которого приводит к противоречиям.
Мы выделим два типа соответствия между языками моделей.
Первый тип. Согласно выводу 3, §6, изоморфизм мыслимой модели на некоторою внешнюю модель дает возможность “воспринимать объект” или, наоборот, “выражать мысль в виде каких–то внешних отношений”. При этом внешние отношения фиксируются в виде некоторого текста.
Второй тип. Соответствие между языками моделей представляется структурными изоморфизмами.
Рассмотрим текстовые противоречия с точки зрения нарушения одного из двух указанных типов соответствия между языками моделей на примерах известных парадоксов.
8.5. “Ахиллес и черепаха”
Понятийный аппарат человеческого разума способен создавать автономные модели. Эти мыслимые модели могут не иметь образов в реальном мире. Противоречие в таком случае снимается исследованием изоморфизма между мыслимой моделью и моделью определенного объекта. Рассмотрим пример.
Апория “Ахиллес и черепаха” принадлежит Зенону из Элен (483–375 гг. до н.э.) и состоит в следующем.
«Легендарный бегун Ахиллес движется в два раза быстрее черепахи. В момент старта черепаха находилась на расстоянии “а” от Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит этот отрезок “а”, то черепаха уползет вперед на расстояние “а”/2. Когда Ахиллес пробежит отрезок “а”/2, то черепаха уползет вперед на “а”/4. Когда Ахиллес пробежит “а”/4, то черепаха продвинется вперед еще на “а”/8 и т.д. Этот процесс бесконечен, и Ахиллес никогда не догонит черепаху».
Апория построена на интуитивном убеждении, что никакие бесконечные процессы завершиться не могут. Именно это и приводит к противоречию. Надо объяснить каким образом рассматриваемый “мысленно” бесконечный процесс все же закончится.
Герман Вейль в начале XX в. дал следующее объяснение этой апории. В мыслимой модели существует бесконечная последовательность 1,2,3,...,n,... временных событий (Ахиллес проходит расстояние “а”/2n) с неограниченно убывающим временным интервалом tn =1/2n. Сумма таких интервалов существует и равна 2 единицам времени.
В реальном мире каждая физическая операция требует некоторого времени, которое больше некоторого фиксированного временного интервала. Поэтому всякая бесконечная последовательность физических операций “выполнима” лишь за бесконечный промежуток времени.
Таким образом, в апории «Ахиллес и черепаха» нет изоморфизма между мыслимой и реальной моделями.