Натуральный ряд N – это множество, определяемое системой аксиом Пеано, см. п.1.1. § 1. Элемент xÎN будем называть достижимым, если этот элемент х=S(...S(S(1))) получен конечным числом операций последования S из первого элемента “1”.
Вопрос: всякий ли элемент xÎN достижим? Для ответа воспользуемся аксиомой 5 “Математической индукции” аксиоматики Пеано (см. п.1.1. §1). Пусть М – множество всех достижимых элементов: 1ÎМ, S(1) ÎМ; если xÎМ, то S(х)ÎМ. Следовательно, по аксиоме 5, заключаем, что МºN, т.е. все элементы натурального ряда достижимы.
С другой стороны, как мы знаем (п.1.1. § 1), линейная цепь
Т = 1, 2, ... , n, ... ; ..., а–2, а –1, а0, а1, а2, ... ; ... ,
является моделью натурального ряда (все аксиомы Пеано выполняются). В этой модели второй и следующие за ним блоки имеют вид
..., а–2, а –1, а0, а1, а2, ...
и содержат недостижимые элементы. Получили противоречие с тем, что все элементы достижимы.
Покажем, что свойство достижимости (назовем его аксиомой Д) не зависит от аксиом Пеано, следовательно, не является логически выводимым в теории этой аксиоматики.
Пусть П= {П1, ... ,П5} – аксиоматика Пеано (п.1.1, §1).
Модель Сколема Т реализует систему аксиом П и отрицание аксиомы Д:Т=R1{П,ùД}. Модель десятичного систематического представления N натурального ряда реализует аксиомы П и Д:N=R2(П,Д). Следовательно, согласно достаточным условиям независимости системы аксиом (п.7.3., §7) заключаем, что аксиома Д не зависит от П.