После этой стадии здравого смысла приходит следующая стадия — научная. Мы видели, что она харак* теризуется наличием тройной операции: проверки ре«| зультата, его «завершения» и особенно его подготовки к использованию, что требует формулировки результата-! эстафеты. Мы видели, что это существенно, во-первых,| для того, чтобы иметь уверенность в приобретенные таким образом знаниях и для того, чтобы иметь возможность их плодотворно использовать.
Эти особенности помогут нам понять, что происхо-. дит, с точки зрения психологии, при переходе от первой! стадии ко второй; другими словами, понять то, что| происходит при изучении математики.
Известно, до какой степени обычным делом здесь! являются полное непонимание и полный крах. Впрочем,! я буду очень краток в этом вопросе, так как он основа-| тельно рассмотрен Пуанкаре. Прежде чем его обсуждать, небесполезно заметить, что изучение математи-| ки уже входит в тему нашего исследования. Между! работой ученика, решающего задачу по алгебре или! геометрии, и изобретательской работой разница лишь в| уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного^ характера.
1 Тут можно сделать то же заключение, что и по поводу «Основ геометрии» Гильберта. Я дал упрощенное доказательство первой части теоремы Жордана; мое доказательство может быть, естественно, вполне арифметизовано, иначе оно не считалось бы доказательством, но, разыскивая его, я все время думал о фигуре (всегда представляя ее себе в виде весьма извилистой кривой), и так повторяется всегда, когда я думаю об этом доказательстве. Я даже не могу утверждать, что я строго проверил это доказательство или для каждого его звена я проверял возможность его арифметизации (другими словами, арифметизованное доказательство не возникало в моем сознании). Однако ни для меня, ни для какого-либо другого математика, который будет читать доказательство, нет сомнения в том, что каждое его звено может быть арифметизовано; я могу мгновенно дать это доказательство в арифметизованном виде, и это доказывает, что в такой форме доказательство имеется в моем краевом сознании.