библиотека MyWord.ru

 

 

ЖАК АДАМАР

И ССЛ ЕДО ВАН И Е ПСИХОЛОГИИ ПРОЦЕССА

ИЗОБРЕТЕНИЯ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ

Перевод с французского

М. А. ШАТАЛОВОЙ и О. П. ШАТАЛОВА

под редакцией

И. Б. ПОГРЕБЫССКОГО

«СОВЕТСКОЕ РАДИО» МОСКВА—1970

УДК 331.015.1

JACQUES HADAMARD Membre de l'Institut

ESSAI

sur la

PSYCHOLOGIE DE L'INVENTION

dans le

DOMAINE MATHEMATIQUE

PARIS LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE ALBERT BLANCHARD

Спутнице моей жизни и моих трудов

«Я скажу, что при таких-то обстоятельствах нашел доказательство такой-то теоремы; эта теорема получит какое-то варварское название которое многие из… А. ПУАНКАРЕ Этот труд, как и все, что можно было бы написать об изобретении в математике, вдохновлялся прежде всего знаменитым…

J0 I

тия Ньютона в оптике также хорошо известны. И кто может сказать, математическими или философскими способностями обусловлена форма черепа Декарта или Лейбница?

Имеется также и другое возражение: мы увидим, что не существует единственной категории математических умов, что эти умы бывают различных типов, причем различия оказываются настолько существенными, что сомнительно, чтобы они соответствовали единственному и одному и тому же свойству мозга.

Все сказанное не противоречило бы принципу Галля, интерпретируемому в общем смысле, а именно, в смысле взаимосвязи математической работы ума с физиологией и анатомией мозга. Но конкретное приложение этого принципа, предложенное Галлем и Мёбиусом, не представляется оправданным.

В общем случае мы должны признать, что даже те виды мозговой деятельности, которые кажутся на первый взгляд простыми, на самом деле оказываются, причем самым неожиданным образом, вовсе не простыми. Объективными методами (изучение ранений в голову и т. п.) удалось установить, что именно так обстоит дело с наиболее изученным видом мозговой деятельности, а именно с речью, которая определяется многими факторами. Существуют известные мозговые локализации, как это утверждал Галль, но они не столь просты и точны, как он предполагал.

Имеются все основания думать, что математическая деятельность мозга должна быть по меньшей мере столь же сложной, как это установлено для речи. Хотя мы, естественно, не располагаем (и, может быть, никогда не будем располагать) в этом случае решающими данными, какими мы располагаем в отношении речи, наблюдения над процессом речи, возможно, помогут нам понять математическую деятельность мозга.

Взгляды психологов

на рассматриваемый вопрос

Многочисленные психологи размышляли хотя и не по вопросу об изобретении в математике, но об изобретениях вообще. Среди них я отмечу лишь два имени: Поль Сурьё и Ф. Полян. Мнения этих двух психологов

расходятся. Сурьё был, видимо, первым, кто утверждал, что изобретения совершаются чисто случайно, в то время как Полян' остался верным более классической теории логики и систематического рассуждения. Между ними существует также различие в методах, которое нельзя объяснить лишь небольшой разницей дат: в то время как у Поляна собран богатый материал об ученых и других изобретателях, этого почти нет в работе Сурьё. Любопытно отметить, что такая методика работы не мешает Сурьё видеть, вообще говоря, верно и делать справедливые и глубокие замечания.

Позднее одно из наиболее важных исследований на эту тему было проделано в 1937 г. в Центре синтеза в Париже, как я уже отмечал во введении.

Математические анкеты

Перейдем к математикам. Один из них, Майе (Maillet), впервые организовал анкету о методах работы математиков. В частности, уже он поставил знаменитый вопрос о «математическом сне», так как не раз высказывалось мнение, что проблемы, которые не поддаются усилиям, могут быть решены во сне.

Хотя анкета Майе полностью не отрицает существования «математического сна», она показывает, что практически не существует прямых примеров таких снов, по крайней мере, если к их категории относить лишь случаи, когда точно помнят рассуждения, проведенные во сне, и отвлечься от случаев, когда результат получается в момент пробуждения, что мы рассмотрим отдельно. Единственное замечательное наблюдение было сообщено известным американским математиком Леонардом Диксоном, который может подтвердить его правильность: его мать и ее сестра в лицее были соперницами по геометрии и однажды провели долгий вечер в безуспешных поисках решения одной задачи. Ночью матери Диксона приснилось решение, и она начала его излагать вслух громко и внятно; ее сестра, услышав это, поднялась и записала решение. Наутро в классе грезившая оказалась обладательницей правильного решения, не подозревая об этом.

¹ Souriau. „Theorie de I'lnvention". Paris, 1881. Paulhan. „Psychologie de I'lnvention", Paris, 1904.

Это наблюдение, ценное благодаря личности, его сообщившей, и достоверности, с которой оно сообщено, является одним из самых необыкновенных. Большинство из остальных 69 математиков, ответивших на этот вопрос анкеты, написали, что никогда не видели математических снов (я их тоже никогда не видел) или видели совершенно абсурдные вещи, или не могли точно рассказать о содержании сна. Пятерым из них снились совершенно детские рассуждения. Имеется один более положительный ответ, но его трудно принимать во внимание, так как автор остался анонимным.

Явление достоверное, и за абсолютную достоверность которого я отвечаю, это внезапное появление решения в момент резкого пробуждения. Однажды, когда меня внезапно разбудил посторонний шум, мгновенно и без малейшего усилия с моей стороны мне в голову пришло долго разыскиваемое решение проблемы¹ — и путем, совершенно отличным от всех тех, которыми я пытался ее решить ранее. Этот случай был весьма необычным и произвел на меня незабываемое впечатление. Очевидно, что это явление, в достоверности которого я совершенно уверен на основании собственного опыта, должно быть рассмотрено отдельно, и мы к нему еще вернемся.

Я не задерживаюсь более на анкете Майе, так как несколькими годами позже среди большой группы математиков при поддержке Клапареда и известного женевского психолога Фурнуа была организована другая, более существенная анкета. Эта анкета была опубликована в периодическом журнале «Математическое образование». Был распространен вопросник, содержавший более 30 вопросов (он дан в Приложении I). Эти вопросы (среди которых был и вопрос о «математическом сне») соответствовали двум, уже отмеченным нами, методам исследования, а именно: некоторые были «объективные» (насколько это возможно в вопроснике), другие— «субъективные». Например, у математиков спрашивали, оказывают ли на них влияние, и в какой мере, шум или метеорологические условия, считают ли они по-

¹ Для специалистов могу сообщить, что речь идет о начале п" 27 [стр. 199—200], опубликованного в Journal de mathematiques pures et appliquees, serie I, tome IX (1898), (вычисление определителя).

лезной или вредной литературную и художественную деятельность и т. п.

Другие вопросы были более «субъективного» характера и более непосредственно и глубоко затрагивали существо проблемы. У авторов спрашивали, интересуются ли они работами своих предшественников или предпочитают изучать проблему самостоятельно, имеют ли они привычку оставлять на некоторое время проблему, чтобы вернуться к ней позже (то, что лично я делал часто и что я всегда рекомендую начинающим исследователям, консультирующимся у меня). Особое внимание уделялось процессу возникновения их основных открытий.

Критические замечания

Читая вопросник, можно отметить нехватку в нем некоторых вопросов, хотя они и аналогичны другим, поставленным. Например, спрашивая математиков, занимались ли они музыкой или поэзией, авторы вопросника не проявили интереса к тому, увлекались ли опрашиваемые какими-нибудь другими науками, кроме математики, а между тем изучение биологии, например, как отмечал Эрмит, может оказаться очень полезным даже для математиков, так как при этом могут обнаружиться скрытые и в конечном счете плодотворные аналогии.

Точно так же, при наличии вопроса о влиянии метеорологических условий или о существовании периодов возбуждения либо депрессии, в анкете нет более детальных вопросов о психологическом состоянии исследователя и, в частности, об эмоциях, которые он, возможно, испытывал. Эта проблема интересна еще и потому, что ее рассматривал Поль Валери в докладе на заседании Философского общества, где он подчеркнул, что эмоции, очевидно, могут оказывать влияние на поэтическое творчество. Однако, хотя на первый взгляд и может показаться, что некоторые виды эмоций способствуют поэтическому творчеству, так как они в большей или меньшей степени находят свое выражение в поэзии, нельзя считать достоверным, что причина действительно такова или, по крайней мере, что такая причина единственная. Действительно, я знаю по личному опыту, что сильные эмоции могут способствовать совершенно разным видам умственной деятельности (например, математическому 14

творчеству) ', и по этому вопросу я согласен с любопытным высказыванием Дону (Daunou)²: «В науках даже самых строгих никакая истина не создается гением Ньютонов и Архимедов без поэтического волнения и некоего трепета мыслящего существа».

Кроме того, основной вопрос анкеты — вопрос, касающийся генезиса открытия, указывает на необходимость другого вопроса, который отсутствует в анкете, хотя интерес его очевиден: у математиков спрашивали, как они достигли успеха, но ведь не могут быть одни успехи, бывают неудачи, и знать причины неудач, по меньшей мере, столь же необходимо. Это связано с тем наиболее серьезным замечанием, которое можно высказать по поводу анкет типа анкеты Майе или Клапареда и Фурнуа. Действительно, такие анкеты содержат источник ошибок, которые для них неизбежны: кого можно считать математиком, и прежде всего математиком, творческий процесс которого заслуживает изучения? Большинство ответов, дошедших до составителей анкет, исходило от людей, объявленных математиками..., имена которых нам теперь совершенно неизвестны. Это объясняет, почему их нельзя было спрашивать о причинах их неудач, так как только люди, имеющие определенные успехи, решаются говорить о поражениях. В анкетах, о которых я говорю, я мог найти только одно или два значительных имени, таких как, например, физик и математик Больцман. Такие люди, как Аппель, Дарбу, Пикар, Пэн-леве не ответили, что, возможно, было ошибкой с их стороны.

Поскольку, в силу указанных причин, большинство ответов на анкеты Майе и журнала «Математическое образование» имеет второстепенный интерес, мне пришла идея задать несколько вопросов человеку, математическое творчество которого является образцом смелости и глубины. Я говорю о Жюле Драше. Некоторые из его ответов были весьма показательными прежде всего в том, что касается биологии (к которой, как и Эрмит, он проявляет большой интерес), и особенно в том, что

¹ Открытие, сделанное в момент неожиданного пробуждения, о котором я рассказал выше, было сделано как раз в период, когда я находился в состоянии такого эмоционального возбуждения.

² Цитируется по «Bulletin de la societe de phylosophic», tome 28, p. 18 (1928).

касается изучения трудов людей, сделавших открытия до него. Это вопрос, по которому, как мне кажется, даже среди людей, рожденных математиками, существуют серьезные расхождения. Историки удивительной жизни Эвариста Галуа нам сообщают, что, по свидетельству одного из его товарищей по классу, даже в лицее он не любил читать трактаты по алгебре, так как он не мог там найти того, что характерно для изобретателей. Драш, работы которого находятся в тесной связи с работами Галуа, стоит на той же точке зрения: он всегда хочет знакомиться с открытиями в том виде, который им придали их авторы. Напротив, большинство математиков, ответивших на вопросы Клапареда и Фурнуа, предпочитали, изучая предшествующие работы, размышлять над ними и их переоткрывать. И мой подход таков, так что я могу указать как пример, по крайней мере, одного исследователя, т. е. самого себя.

Пример Пуанкаре

Оставим в стороне анкету журнала «Математическое образование». Хотя, как было сказано, в ней не проводилось надлежащего анализа значительности авторов, приславших ответы, впоследствии эта анкета стала поводом для показаний, наиболее авторитетных из всего того, что можно было надеяться получить. Процесс изобретения был проанализирован величайшим гением, которого знала наша наука за последние полвека, человеком, влияние которого чувствуется во всей современной математической науке: я говорю о знаменитом докладе Анри Пуанкаре в Психологическом обществе в Пари-лее¹. Наблюдения Пуанкаре пролили ослепительный свет на отношения между сознательным и бессознательным, между логикой и случайностью, отношения, которые лежат в основе проблемы. Несмотря на некоторые возражения, которые мы обсудим в подходящий момент, выводы, к которым он пришел в этом докладе, кажутся мне полностью справедливыми и по крайней мере в первых пяти частях я с ними полностью согласен².

¹ Bulletin de PInstitut General de Psychologie, № 3, 8 annec (1908) (см. Приложение III).

² Все цитаты без указания имени автора на следующих страницах взяты из доклада Пуанкаре.

Пример, который приводит Пуанкаре, относится к одному из наиболее крупных его открытий, первому, стяжавшему ему славу, — теории автоморфных групп и автоморфных функций. Прежде всего я должен предупредить, что мы должны будем использовать технические термины, которые читатель не обязательно должен понимать. «Я скажу, например, — объясняет он, — что при таких-то обстоятельствах я нашел доказательство такой-то теоремы; эта теорема получит какое-то варварское название, которое многие из вас не поймут, но это не важно: для психолога важна не теорема, а обстоятельства».

Итак, мы будем говорить об автоморфных функциях. Вначале Пуанкаре бесплодно в течение двух недель пытался показать, что функции этого вида существовать не могут — идея, неправильность которой была им позднее доказана.

Действительно, в течение одной бессонной ночи и при обстоятельствах, к которым мы еще вернемся, он построил первый класс этих функций. Затем он пожелал найти для них выражение: «Я хотел представить эти функции в виде отношения двух рядов; эта идея была совершенно сознательной и обдуманной; мной руководила аналогия с эллиптическими функциями. Я спрашивал себя, какими свойствами должны обладать эти ряды, если они существуют, и мне без труда удалось построить эти ряды, которые я назвал тета-автоморфными. В этот момент я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической экскурсии, организованной Горной школой. Перипетии этого путешествия заставили меня забыть о моей работе. Прибыв в Кутанс, мы сели в омнибус для какой-то прогулки; в момент, когда я встал на подножку, мне пришла в голову идея безо всяких, казалось бы, предшествовавших раздумий с моей стороны, — идея о том, что преобразования, которые я использовал, чтобы определить автоморфные функции, были тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии. Из-за отсутствия времени я ничего не проверил и, едва сев в омнибус, продолжал начатый разговор, но я уже был вполне уверен в правильности сделанного открытия. По возвращении в Кан я на свежую голову и лишь для очистки совести проверил найденный результат.

2—1467

В то время я занялся изучением некоторых вопросов теории чисел, не получая при этом никаких существенных результатов и не подозревая, что это может иметь малейшее отношение к прежним исследованиям. Разочарованный своими неудачами, я поехал провести несколько дней на берегу моря и думал совсем о другом предмете. Однажды, когда я прогуливался на взморье, мне так же внезапно, быстро и с той же мгновенной уверенностью пришла идея, что арифметические преобразования тройничных неопределенных квадратичных форм тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии».

Эти два результата показали Пуанкаре, что существуют другие автоморфные группы и, следовательно, другие автоморфные функции, чем те, которые он открыл во время своей бессонницы. Эти последние были лишь частным случаем. Теперь уже дело состояло в том, чтобы изучить самые общие случаи. При этом он был остановлен очень серьезными трудностями, которые упорная сознательная работа позволила определить более адекватным образом, но не преодолеть. Затем, еще раз, решение пришло ему столь же неожиданным образом и без подготовки, как и в двух других случаях. Это произошло тогда, когда он отбывал воинскую повинность.

И он прибавляет: «То, что вас удивит прежде всего,— это видимость внезапного озарения, — явный результат длительной неосознанной работы; роль этой бессознательной работы в математическом творчестве мне кажется несомненной».

Описание Пуанкаре его собственной бессознательной работы

«Однажды вечером, — говорит Пуанкаре, — вопреки своей привычке, я выпил черного кофе; я не мог заснуть; идеи теснились; я чувствовал, что они как бы… 1§ Это странное явление тем интереснее может быть для психолога, чем оно более исключительно. Пуанкаре говорит, что он…

ГЛАВА II

Хотя «бессознательное», строго говоря, является профессиональным делом психологов, оно находится в такой тесной связи с рассматриваемым основным… Тот факт, что это внезапное озарение, которое можно назвать вдохновением,… Хотя повседневные наблюдения доказывают нам существование бессознательных процессов, что признавалось со времен св.…

Д1ножественНость бессознательных процессов

На самом же деле, самые обыденные факты со всей очевидностью демонстрируют не только участие бессознательного, но и одно из его основных свойств: я… Мы видим также, что эта множественность бессознательного позволяет ему… 1 Насколько я понимаю, в современной гештальт-психологии считается, что существует единое восприятие лица, не…

ГЛАВА III

БЕССОЗНАТЕЛЬНОЕ И ОТКРЫТИЕ Сочетание идей

Немного позже мы увидим, что возможность приписать открытие чистой случайности исключена уже наблюдениями Пуанкаре, если их внимательно изучить. С другой стороны, тот факт, что в процессе бессознательной работы имеет место… В самом деле, очевидно, что независимо от того, идет ли речь о математике или о чем-нибудь другом, изобретение или…

Точка зрения Пуанкаре на роль подготовительной работы

Чтобы проиллюстрировать это направляющее действие, Пуанкаре использует удивительное и очень плодотворное сравнение. Он предлагает вообразить, что… го импульса, который им был сообщен по нашей воле, атомы больше не… Можно теперь предвидеть последствия: «атомы, приведенные в движение, начинают испытывать соударения и, следовательно,…

У

ГЛАВА V

Четвертый этап С помощью Гельмгольца и Пуанкаре мы научились теперь различать следующие три… 1) Для проверки результатов. Чувство абсолютной уверенности, сопровождающее вдохновение, обычно соответствует…

I

бовало проверки не только алгебраической, но и численной, с использованием получаемых наблюдением оценок порядков величин, входящих в формулы (проверки, которая, как известно, одно время считалась Ньютоном ошибочной). Если же, говоря строго, можно усомниться в этом примере, то имеются другие примеры, совершенно неоспоримые. Например, ясно, что Георг Кантор не мог предвидеть результат, о котором он сам говорил: «Я его вижу, но я ему не верю».

С другой стороны, как бы то ни было, но дальнейшее развитие изобретения, как и вначале, требует проведения подготовительной работы, о которой мы уже говорили. После того, как некоторая стадия исследования закончена, следующая требует нового толчка, который может быть рожден и направлен лишь тогда, когда мы сознательно и точно воспринимаем первый результат.

Возьмем достаточно обычный пример: каждый понимает, что при пересечении двух параллельных прямых двумя параллельными получаются отрезки, попарно равные; каждый знает это, сознательно или нет. Но' до тех пор, пока это не высказано сознательно, отсюда нельзя получить никаких следствий, например, подобия.

Возможно, что новая часть исследования будет результатом исключительно сознательной работы, как об этом рассказывает Пуанкаре (точнее, сказал бы я, результатом сознательной работы при сотрудничестве краевого сознания); или, более того, как в примере с Ньютоном, эта часть исследования может заслуживать и требовать длительной систематической сознательной работы. Чтобы это заметить, требуется новое усилие нашей воли, и точное выражение полученного ранее результата является для этого весьма существенным.

Итак, каждый этап исследования должен как бы сочленяться со следующими этапами с помощью результата, выраженного в точной форме, который я предложил бы назвать результатом-эстафетой (или формулой-эстафетой, если это формула, как в ньютоновской интерпретации третьего закона Кеплера). Когда удается достигнуть такого сочленения, аналогичного стыковке путей на развилке железной дороги, нужно решить, в каком направлении должно продолжаться исследование. Здесь эти разветвления ясно показывают направляющее действие того сознательного «я», считать 60

которое низшим по отношению к бессознательному мы могли бы быть склонны.

Сделанные выше замечания могут показаться до некоторой степени очевидными и даже ребяческими; но небесполезно заметить, что они нам помогают понять не только процессы, происходящие в уме любого исследователя, но и общую структуру математики. Ее продвижение вперед было бы невозможным не только без проверки результатов, но особенно без систематического использования того, что мы только что назвали результатами-эстафетами, которые очень часто используются настолько, насколько это возможно, вплоть до их крайних следствий. Такова, например, роль простого и классического факта, что, пересекая треугольник прямой, параллельной одной из его сторон, получают другой треугольник, подобный данному — факт, очевидный сам по себе, но который должен быть строго сформулирован, чтобы дать длинный ряд свойств, которые из него вытекают.

ГЛАВА VI

ОТКРЫТИЕ КАК СИНТЕЗ. ПОМОЩЬ ЗНАКОВ

Синтез в открытии

Поль Сурьё пишет¹: «Знает ли алгебраист, что , происходит с его идеями, когда с помощью знаков он их вводит в свои формулы? Прослеживает ли он за ними на протяжении всех этапов, которые он осуществляет? Без сомнения, нет. Он их тотчас же теряет из поля зрения. Он заботится лишь о том, чтобы упорядочивать и комбинировать, в соответствии с известными правилами, материальные знаки, находящиеся у него перед глазами; и он принимает полученный результат как вполне надежный».

В своих исследованиях математики видят вещи под иным, во многом, углом зрения. Не то, чтобы утверждение Сурьё было полностью ошибочным. Можно грубо считать его верным применительно к конечному этапу проверки и «завершения», о котором уже говорилось в предыдущей главе; но даже в этом случае не все происходит так, как он это говорит. Математик не оказывает такого слепого доверия результатам, полученным на основании известных правил; он знает, что ; ошибки в вычислениях возможны и даже часты. Если , целью вычисления является проверка результата, кото- '.; рый предвидело бессознательное или подсознательное, I и если эта проверка не удалась, то нисколько не исклю- -' чено, что первый подсчет ошибочен, а вдохновение право.

Если же применить это расуждение не к финальной ■ фазе, а к исследовательской работе вообще, то поведение, описанное Сурьё, является поведением ученика (и ' даже довольно плохого). Действительный ход мысли при построении математического рассуждения надо, 1

¹ „Theorie de 1'Invention", p. 127. j

62 .- J

скорее, сравнить с процессом, о котором мы упоминали в гл. II, а именно, с узнаванием чужого лица. Промежуточный случай, иллюстрирующий аналогию этих двух процессов, дает изучение психологин шахматистов, некоторые из которых способны играть одновременно десять или двенадцать партий, не видя шахматных досок. Рядом исследователей, в частности Альфредом Бинэ', проводились специальные исследования с целью понять, как это происходит. Результаты этих исследований можно резюмировать так: для многих из этих шахматистов каждая партия имеет свое лицо, которое позволяет ему думать о ней как о чем-то едином, как бы сложна она не была, точно так же, как мы видим лицо человека в целом.

Такое же явление обязательно происходит при изобретениях любого вида. Мы это видели в письме Моцарта (гл. I); подобные заявления были сделаны такими художниками, как Энгр и Роден (их цитирует Анри Делакруа, «Изобретение и гений»). Но тогда как Моцарт, любимец муз, не нуждается, кажется, ни в малейшем усилии, чтобы представить себе свое произведение как единое целое, Роден пишет: «Нужно, чтобы до конца своей работы, он (скульптор) энергично удерживал в полном свете своего сознания свою идею ансамбля с тем, чтобы непрерывно пополнять ее мельчайшими деталями своего произведения и увязывать их с нею. И без очень напряженного усилия мысли дело идет плохо».

Точно так же, всякое математическое рассуждение, как бы сложно оно ни было, должно мне представляться чем-то единым; у меня нет ощущения, что я его понял, до тех пор, пока я его не почувствовал как единую, общую идею. И, к сожалению, это часто требует от меня, как и от Родена, более или менее мучительного усилия мысли.

Использование знаков

Исследуем теперь вопрос, который, как я намерен показать, имеет отношение к предыдущему: помощь, , оказываемая мысли конкретными представлениями.

¹ См., например, статью A. Binet „Revue des Deux Mondes", serie 3, tome 117 (mai—juin 1893), p. 826—859, и особенно гл. IV.

Такое исследование, принадлежащее к области прямо-] го самонаблюдения, возможно лишь благодаря тому! краевому сознанию, которое мы упоминали в конце] гл. II. Вместе с тем мы увидим, что основные результаты этого исследования, вероятно, применимы и для^ исследования глубоко бессознательных процессов, хотя! последние нам прямо и неизвестны.

Слова и мысли без слов

Наиболее классическим типом знаков, которые могут! кооперироваться с мыслями, являются слова. Мы здесь! находимся перед любопытным вопросом, мнения по| которому являются совершенно различными.

Впервые я обратил внимание на этот вопрос, когда] в 1911 г. я прочел в «Le Temps»¹: «Идея может быть понята лишь с помощью слов и существует лишь с] помощью слов²». У меня сложилось твердое впечатле-1 ние, что идеи редактора по рассматриваемому вопросу! были довольно посредственными.

Но еще более поразительным для меня было узнать,} что такой известный филолог и востоковед, как Макс] Мюллер, утверждает³, что никакая мысль невозможна! без слов⁴, и даже написал следующую фразу, совер-| шенно непонятную для меня: «Как мы знаем, что небо] существует и что оно голубое? Знали ли бы мы небо, если бы не было для него названия?» И он не только: вместе с Гердером допускает, что «без языка человек! никогда не мог бы достигнуть своего разума», но он также прибавляет, что без языка человек не мог бы никогда обладать даже чувствами. Разве глухонемые лишены всех чувств?

¹ «Время» — французская газета тех лет.— Прим. ред.

² Точно так же однажды на бакалориате по философии и Париже была дана следующая тема (тема, достойная сожаления, насколько я могу судить): «Показать, что язык нам столь же необходим для мышления, как и для передачи наших мыслей».

³ Max Muller „Three Introductory Lectures on the Science of Thought", Лондон, 1887; см. также более полный его труд; „The Srience of Thought", опубликованный в том же году.

⁴ Весьма вероятно, что безграничное доверие Макса Мюллера к словам вытекает из его работы как лингвиста, которой он посвятил всю свою жизнь.

Это заявление Макса Мюллера является тем более любопытным, что он заявляет, что в том факте, что _мысль невозможна без слов, он находит аргумент против всякой теории эволюции, доказательство, что человек не мог произойти ни от какого животного. Но со значительно большим основанием заявление Макса Дюллера можно было бы повернуть против него самого, принимая во внимание, например, книгу Келера «Mentality of Apes» ' и действия его шимпанзе, действия, которые подтверждают их способность к рассуждениям.

Макс Мюллер дает исторический обзор мнений, высказанных по вопросу об использовании слов в мышлении (из которого мы проанализируем наиболее существенные) ; обзор этот не лишен интереса, во-первых, сам по себе и затем в связи с той точкой зрения, которую он защищает. Мы там, например, находим, что первоначально греки использовали одно и то же слово logos для обозначения разговорного языка и мысли, и только позднее стали различать эти два понятия разными эпитетами — и Мюллер, естественно, заявляет, что сначала их побуждения были правильнее, чем в конце.

Схоластики средних веков подобным же образом (что, может быть, в природе вещей) ведут себя по отношению к этому началу греческой философии. Абеляр заявлял в XII веке: «Речь порождена интеллектом и порождает интеллект». Аналогичное мнение выражал и более современный философ Гоббс, который обычно симпатизировал схоластам.

Но, как правило, благодаря потоку идей, идущих от Декарта, взгляды людей по этому, как и по многим другим вопросам, оказываются иными. В Германии был лишь один период около 1800 г. (Гумбольдт, Шеллинг, Гегель, Гер дер), когда философские умы были близки к «правде» (т. е. к мнению Макса Мюллера). Гегель коротко замечает: «Мы думаем словами» — как будто бы никто никогда не подвергал это сомнению.

Но другие великие философы нового времени не так уверены в идентичности речи и разума. Действительно, самые значительные среди них — идет ли речь о Локке и Лейбнице или даже о Канте и Шопенгауэре и более

¹ Kohler „Mentality of Apes", N. Y., 1923; см., например, ксперимент с шарнирно-сочлененной палкой.

—1467 ⁶⁵

близком к нам Джоне Стюарте Милле — согласны ме> ду собой в своих сомнениях. Это не значит, что Лей( ниц не думает словами, но он признается в этом явным сожалением '. Философ Беркли абсолютно кат горичен, но в обратном смысле: он убежден, что сл< ва — большой тормоз мысли.

Пылкость, с которой Макс Мюллер защищает сво точку зрения, приводит его к тому, что это общее пов( дение современных мыслителей он начинает называт «отсутствием смелости» (в то время как всякий друге назвал бы это научной осторожностью), — как будт бы никакого искреннего мнения, отличающегося от ег быть не может.

Приемлемо ли оно для него или нет, но оно cyuii ствует. Как только он опубликовал свои «Лекции мышлении», поднялись протесты, идущие со всех ст рон². Прежде всего, раздался авторитетный голос пе| воклассного мыслителя Франсиса Гальтона, выдающ( гося генетика, который, начав как путешественнш выпустил, кроме всего прочего, важное произведение п психологическим вопросам. Большая привычка к сам< наблюдению, которую он имел, позволила ему утверя дать, что его ум никогда не работал в соответствии тем стандартом, который Макс Мюллер считает едш ственным. Играет ли Гальтон в бильярд и рассчитывай траекторию бильярдного шара, или изучает вопрос! более возвышенные и более абстрактные, его мыслш никогда не сопровождаются словами.

Гальтон прибавляет, что иногда в процессе его рассуждений случается, что он слышит аккомпанемент слов, лишенных смысла, «как мелодия песни может сопровождать мысль». Естественно, слова, лишенные смысла, являются вещью совершенно иной, чем реальные слова; мы увидим позднее, с какого вида образами их можно разумно сравнить.

Эта склонность ума Гальтона не лишена для него неудобства; вот что он пишет: «Тот факт, что я не мог}' свободно думать словами, является для меня серьезной

¹ «Диалог о соотношении между мыслями и словами»: «Меня сильно смущает (Hoc unum me male habet) то, что я никогда не могу узнать, открыть или доказать никакой истины, не используя в уме слов или других вещей».

² См. обмен письмами в конце „Introductory Lectures".

66 /

помехой, когда я что-либо пишу; еше более, когда я объясняюсь. Часто случается, что после того, как я долго работал и достиг результатов, которые для меня совершенно ясны и удовлетворительны и которые я хочу выразить словами, я должен настраивать себя в совершенно другом интеллектуальном плане. Я должен перевести свои мысли на язык, который дается мне нелегко. Я теряю много времени, отыскивая подходящие слова и фразы, и я отдаю себе отчет, что, когда мне приходится выступать без подготовки, меня часто трудно понять из-за такой неуклюжести речи, а отнюдь не из-за неясности моих представлений. Это одна из наибольших неприятностей в моей жизни».

Я хотел воспроизвести полностью это заявление Гальтона, потому что в его случае я узнаю свой собственный, включая досадное следствие, из-за которого я непеживаю то же, что и он.

Тот факт, что Макс Мюллер не может вспомнить молнию, не подумав о ее названии, не означает, что «мы» неспособны это сделать. Что касается меня, то когда я вспоминаю молнию, я вижу мысленно ее вспышку, которую я наблюдал много раз, и мне потребовалось бы мгновение размышления — короткое, конечно, но обязательно мгновение — если бы я пожелал вспомнить соответствующее слово. В точности так же, как для Гальтона, такой перевод мысли на язык требует от меня всегда более или менее напряженного усилия. Являются ли стихи Буало:

«То, что верно понято, ясно произносится, И слова для этого рождаются легко»

справедливыми по отношению к другим людям или нет, верно то, что они не таковы для меня. У меня для этого есть осязаемое доказательство — я бы мог сказать «объективное» — то что мне трудно прочесть лекцию на любую тему, кроме математической, если я не написал ее целиком—единственный способ избежать постоянного и мучительного колебания в выражении мыслей, которые для меня совершенно ясны.

Гальтон справедливо замечает, насколько странно

то, что Макс Мюллер совершенно неспособен понять,

что другие умы отличны от его; ошибка эта является

очень общей, но поразительно обнаружить ее у чело-

5* 67

века, привыкшего к психологическим исследованиям Например, как мы только что видели, различия межд умами неоспоримы, поэтому этот вопрос следовало б решать не полемикой, а с помощью анкет, обращенны к каждой человеческой расе и ко всем возможны]¹, классам людей (мы увидим, что в этом могут ветре титься трудности), а не только к людям умственног труда. Гальтон, собиравший информацию, наскольк ему это позволяли обстоятельства, рассказывает, чт он обнаружил некоторый (впрочем, незначительный процент людей, обычно думающих без помощи слов произносимых или не произносимых. Можно удивиться что Гальтон, так хорошо знающий статистические one рации, не дает точного процента; но ниже мы приведем возможное объяснение '.

Образы в повседневном мышлении

Мысль может сопровождаться другими конкретными образами, нежели слова. Аристотель считал, что мы не можем думать без образов. Тэн в своем известном про изведении «Об уме» уделяет особое внимание рол образов в выработке идей, образов, которые он опреде ляет в начале тома II как повторные ощущения, живу чие и внезапно появляющиеся. Тем не менее, сейча считают, что он преувеличил эту роль и приписал е слишком исключительное значение.

Приблизительно в ту же эпоху Альфред Бинэ сдела важный шаг в изучении этого вопроса, занимаясь и экспериментально². Он исследовал около двадцати че ловек, но особо тщательно были исследованы дв девочки — подростки из его собственной семьи (в воз* расте 13 и 14 лет), чья ценная помощь в столь нежном, возрасте в таких тонких психологических исследованиях особенно замечательна. Иногда он их подвергал опытам в чистом виде, но чаще всего опытам в сочетании : самонаблюдением. Например, ставя вопрос или произ-

¹ Гальтон в „Inquiries into Human Faculties" проводил и терпретировавшиеся по правилам статистики опросы относитель роли воображения, которое рассматривалось само по себе. Н следовало бы теперь провести подобный опрос о роли вообра ния в качестве помощника мышления.

² „Etude experimental de 1'Intelligence" (1903).

68 ^X

нося слово, он спрашивает, какие идеи, представлени и т. д. им внушает эта тема. Такой метод был подвергнут критике, и действительно он вызывает возражение которое можно выдвинуть против почти всех видов психологических опытов, а именно, что возможно невольное внушение, исходящее от самого экспериментатора. Но этого не следует опасаться, если результаты оказываются совершенно неожиданными, каковыми были некоторые из результатов Бинэ. По существу метод Бинэ рассматривается психологами как эффективный, несмотря jia указанное выше и аналогичные возражения, так как Бюлер (Biihler) дал убедительные отпеты на эти возражения¹; позднее подобный метод был использован в так называемой Вюрцбургской школе. Но фактически его создатель Бинэ.

В опытах Бинэ вопрос о словах был затронут лишь попутно. Ответ в даном случае в пользу Гальтона, а не Макса Мюллера. Одной из девочек² ответ в словах представляется как «образ, который прерывает мысль». Мысль же является ей внезапно, как и все виды чувств.

Более неожиданным является то, что даже вмешательство образов уменьшено до минимума, в противоположность теории Тэна. Точность ответа поразительная ³: «Для того, чтобы у меня появились образы, нуж-'Ю, чтобы мне не о чем было думать. Они (мысли и образы) отделены друг от друга и никогда не приходят ';месте. У меня никогда не бывает образов, когда какое-шбо слово внушает мне очень много мыслей. Нужно, чтобы я подождала немного. Когда у меня исчерпаются !ice мысли по поводу этого слова, появляются образы; если мысли приходят снова, образы стираются, и наоборот».

По этому поводу сам Бинэ заключает: «Позднее я мог убедиться, что Арманд права. Я допускаю, что существует некоторый антагонизм между образом и мышлением, особенно когда образ очень яркий. Самые красивые образы возникают в мечтах и снах». Он отме-

¹ Biihler „Archiv f. die Ges. Psych", tome IX (1907), tome Xll (1908), особенно стр. 92—123. См. также G. Dumas „Traite de

Psychologie", t. I, chap. IV.

² Etude experimentale de 1'Intelligence", p. 107.

³ Там же, стр. 124.

чает также факт, замеченный Гальтоном и другим ' что у женщин и детей больше красивых образов, че у взрослых мужчин, которые сильнее в рассуждения Последующие опыты Двельшауверса', проведенны на студентах, привели к тем же основным выводам о условиях появления образов, что и опыты Бинэ. О констатирует, что образы появляются лишь тогда, когд мы представляем нашим идеям неконтролируемую ев боду, то есть когда мы грезим наяву. Как только воз вращается сознание, образы слабеют, меркнут; кажет ся, что они уходят в какую-то неизвестную область.

Умственные образы

при концентрированном мышлении

Проблемой слов и образов в мышлении занималне более современные авторы (Делакруа, Джеймс Анжел. Титченер, Варендонк и др.). Но большинство из и произведений нас непосредственно не касается из-з одного отличия, которое особенно существенно для н шей темы.

Психологи различают два вида мысли. Есть «сво бодная» мысль, когда мы предоставляем нашим мыс лям возможность блуждать, не направляя их к опреде ленной цели; и есть мысль «контролируемая», когда направление задано². Этот второй термин не являете достаточно точным для нашей цели. У мысли есть направление уже тогда, когда спрашивают, какой сегодня день; но случай изобретательской мысли явно от этого отличается. Она требует некоторого концентрированного усилия; она не только контролируема, она сконцентрирована.

Нет никаких оснований считать, что процессы при этих трех видах мышления одинаковы; и действительно они таковыми не являются. И только третий случай касается нас непосредственно.

¹ Dwelshauvers „Les Mecanismes Subconscients".

² R. S. Woodworth „Psychology", стр. 33, 4-го издания. Однако Вудворд говорит здесь о случае, когда задается трудный вопрос, что, скорее, соответствует нашей третьей категории концентрированной мысли, чем мысли просто контролируемой.

Точка зрения Бинэ

Резюмируя свои опыты, Бинэ склоняется к выводу >, что слова или чувственные образы .могут быть полез-' ними для того, чтобы придать точную форму чувствам пли мыслям, которые без их помощи оставались бы слишком туманными; или даже для того, чтобы мы имели возможность полностью осознать мысль, которая без этого оставалась бы бессознательным актом ума; кроме того, они используются для перехода идей из области бессознательного в сознание, точнее, из бессознательного, где они расплывчаты, в сознание, где они уточняются.

Одно время я был склонен принимать концепцию Бинэ. Действительно, она до некоторой степени удовлетворяла двойному условию, кажущемуся противоречивым:

а) что помощь образов абсолютно необходима для сопровождения моей мысли;

б) что образы никогда не вводят меня в заблуждение и я не боюсь, что это произойдет.

Но последующие рассуждения привели меня к дру-ой концепции. Действительно, опыты Бинэ или Двель-аауверса не соответствуют тому случаю, который мы рассматриваем: они касаются контролируемой, но не концентрированной мысли. Двум девочкам ставят вопросы типа: «Что вам приходит в голову, когда вы думаете о том, что делали вчера?» Наиболее трудный вопрос, который я видел в книге Бинэ, был следующим: Подумайте, что бы вы предпочли делать, если бы могли остаться на три часа одна и совершенно свободной в своих действиях?»

Личные наблюдения

Случай исследовательской работы является, естественно, совершенно иным, поэтому я хотел понять, что же происходит в моем уме, когда я начинаю строить или понимать математическое рассуждение (я сказал вначале, что существенной разницы между этими двумя вещами нет).

¹ „Etude Experimentale de I'Intelligence", p. 108.

7.1

Я утверждаю, что слова полностью отсутствуют моем уме, когда я действительно думаю, и что я под ностью отождествил бы свой случай и случай Гальтов в том смысле, что когда я услышу или прочитаю вопрг все слова исчезают точно в тот момент, когда я иа*-наю думать; слова появляются в моем сознании ' toj ко после того, как я окончу или заброшу исследован^ точно так же, как и у Гальтона, и я полностью согласв с Шопенгауэром, когда он пишет: «Мысли умирают тот момент, когда они воплощаются в слова».

Я думаю, что существенно также подчеркнуть, чт| я веду себя так не только по отношению к словам, н| и по отношению к алгебраическим знакам. Я их исполь зую, когда я делаю простые вычисления; но кажды! раз, когда вопрос кажется более трудным, они станов вятся для меня слишком тяжелым багажом: я исполь-1 зую в таком случае конкретные представления, но они| совершенно другой природы.

Пример такого типа известен в истории науки, oi был дан Эйлером, чтобы объяснить шведской² прик цессе свойства силлогизмов. Эйлер представляет общи! идеи кругами; если мы должны думать о двух катего риях вещей А и В так, что каждая вещь А есть В, мь представляем себе круг А внутри круга В. Если, на против, никакой элемент А не В, мы представляем себ<

¹ Вполне возможно, и даже весьма вероятно, что слова при-' сутствуют в краевом сознании. Во всяком случае, я думаю, что так бывает со мной, когда я занимаюсь математикой. Но я сомневаюсь, что так же обстоит дело и для процессов мышления в' других отраслях науки, так как тогда бы я сумел найти подтверждение этому. Происходит очевидная путаница по существу вопроса, когда, приведя высказывание Уильяма Гамильтона, который замечает,—что «знание формируется раньше, чем мы его можем выра-j зить с помощью символов», так что идея должна обязательно] предшествовать словам — Макс Мюллер заявляет, что в этом он с ним согласен (sic), так как из этого заявления Уильяма Гамилв тона можно сделать вывод, что мысль и ее обозначение «почт совпадают» по времени. Хотя я являюсь случайным человеком психологии, я ее знаю достаточно для того, чтобы понять, чт умственные процессы часто протекают очень быстро, и было бШ абсурдным изучать их, не различая явлений «почти совпадающих» и одновременных. Более того, Уильям Гамильтон очень ярко выра| зил свой взгляд на вопрос, прибавив: «Таким образом, реч является не матерью, а крестной мысли».

² Автор здесь имеет в виду рассуждения Эйлера в «Письма! к немецкой (не шведской!) принцессе» — Прим. ред.

_круг А целиком вне круга В; если же, наконец, лишь _неКоторые элементы А суть В, то два круга должны _пересекаться.

Итак, если я должен думать о каком-нибудь силлогизме, я о нем думаю не словами — слова мне не позволили бы понять, правилен ли силлогизм или ложен, — а с помощью интерпретации, аналогичной интерпретации Эйлера, пользуясь, однако, не кругами, _а какими-то пятнами неопределенной формы, так как для того, чтобы представлять себе эти пятна находящимися одно внутри или вне другого, я не должен их видеть имеющими строго определенную форму.

Чтобы рассмотреть несколько менее тривиальный случай, возьмем элементарное и хорошо известное доказательство теоремы: «Последовательность простых чисел не ограничена». Я повторю последовательные этапы классического доказательства этой теоремы, записывая рядом с каждым из них соответствующий образ, возникающий в моем мозгу. Например, нам нужно доказать, что существует простое число, большее 11:

Этапы доказательства	Мои умственные образы
Я рассматриваю все простые числа от 2 до 11, то есть 2, .4, 5, 7, 11.	Я вижу неопределенную массу.
Я образую их произведение 2-3-5-7-ll=N-	Так как N—число достаточно большое, я представляю себе точку, достаточно далеко удаленную от этом массы.
Я прибавляю к этому произведению 1 и получаю N+1-	Я вижу вторую точку, недалеко от первой.
Это число, если не является простым, должно иметь простой делитель, который и является искомом.	Я вижу некоторое место, расположенное между неопределенной массой и первой точкой.

Какая может быть польза от такого странного и неопределенного представления? Оно, конечно, не используется здесь для того, чтобы напомнить мне какое-нибудь свойство делимости, так как всякая информация, данная таким образом, могла бы оказаться неточной и сбить меня с пути. Этот механизм удовлетворяет, таким образом, условию б), поставленному выше. Наоборот, это условие лишь частично выполняется при

""*- 73

гипотезе Бинэ: уточнять бессознательные идеи всегда связано с риском их исказить.

Но в то же время можно легко понять, почему мне мог быть необходим механизм такого типа для понимания доказательства, приведенного выше. Он мне необходим для того, чтобы единым взглядом охватить все элементы рассуждения, чтобы их объединить в одно целое — наконец, чтобы достичь того синтеза, о котором мы говорили в начале этой главы, и чтобы придать проблеме свое лицо. Этот механизм не раскрывает мне ни одного звена в цепи рассуждения (т. е. не содержи г никаких свойств делимости или простых чисел), но он мне напоминает о том, как эти звенья должны быть соединены. Если мы еще раз обратимся к сравнении Пуанкаре, то скажем, что это представление необходим мо для того, чтобы не потерять уже полученные полез-* пые комбинации.

Фактически всякое математическое исследовав принуждает меня строить аналогичную схему, котора| всегда носит и должна носить неопределенный хара* тер, чтобы не сбить с пути. Я приведу менее элемен! тарный пример, взятый из моих ранних исследовани! (моя диссертация): я должен был рассмотреть сумм| бесконечного числа слагаемых и оценить порядок величины. Итак, когда я обдумываю этот вопрос, я ви жу не собственно формулу, а место, которое она занимала, если бы ее написали: нечто вроде ленть| более широкой или более темной в местах, соответст вующих членам, которые могут оказаться существен ными, или же я вижу нечто вроде формулы, прочест! которую, однако, невозможно, как будто бы я смотр» без очков (у меня сильная дальнозоркость), причем этой формуле буквы немного более отчетливы в местаз| которые предполагаются более важными (хотя и] также невозможно прочесть).

Друзья мне говорили, что у меня был особы! взгляд, когда я занимался математическими исследова| ниями. Я не сомневаюсь, что это явление сопровождает прежде всего, построение требуемой схемы.

Сказанное имеет отношение к вопросу об умствен! ной усталости. Я спросил у нескольких известных пси| хологов, и в частности у Луи Лапика, каким образо» умственная работа может вызывать утомление, xots|

Г

никакая «работа» (в том смысле, какой физик придает утому слову) при этом, видимо, не производится. Мнение Лапика в то время было таково, что умственная работа может быть сравнена лишь с процессом переворачивания страниц книги. Итак, умственная работа существует; с объективной и физиологической точек зрения она была изучена в важной книге Бинэ и Виктора Днри; с тех пор по этому вопросу должен был быть достигнут большой прогресс, за которым я не уследил. С точки зрения психологической можно с уверенностью тверждать, что усталость определяется синтезирующим усилием (как мы это видели у Родена) в смысле придания исследованию единства и, следовательно, по крайней мере в моем случае, усилие расходуется на то, чтобы выработать соответствующую схему.

Можно добавить несколько замечаний.

Если бы я использовал черную доску и написал бы выражение 2-3-5-7-Ц, то схема, описанная выше, исчезла бы из моего рассудка, так как стала бы, очевидно, бесполезной и была бы автоматически заменена формулой, которую я имел бы перед глазами.

Должен заметить, что я принадлежу полностью к ^духовому типу >, и именно поэтому мои умственные представления являются исключительно визуальными. Причина этого для меня совершенно ясна: визуальные представления этого вида являются, естественно, более неопределенными, и мы видели, что это является необходимым условием для того, чтобы руководить моим сознанием, не сбивая на ложный путь.

¹ У меня очень плохая память на лица и я часто не узнаю людей или ошибаюсь, узнавая их; к звучанию названий, напротив, я очень чувствителен; и повидать такие реки как Мохок (Mohowk) и Маттавамкег (Mattawamkeag) мне хочется гораздо больше, чем этого заслуживает их красота, так как одни их названия рождают в моем воображении представление о лесах и жизни индейцев. Я меньше, чем другие люди, замечаю сходство в лицах, и более чувствителен к сходству голосов.

Многочисленные ошибки при машинальных записях происходят из-за слухового воображения (см. гл. II, стр. 25). Примеры такого рода являются классическими. Лично со мной это случается часто: в моем сознании возникает слово, которое я бессознательно пишу вместо другого, если они похожи по звучанию. Так, когда я писал эту книгу на английском языке, я часто писал: „simple" вместо same place и will she вместо we shall. Я думаю, что ошибки такого типа случаются чаще, когда я пишу по-английски, чем когда я пишу по-французски, что вполне естественно.

Я добавлю также, что случай, который мы тольк что исследовали, касается, прежде всего, изучения тео рии чисел, алгебры или анализа. Когда я занимаюс геометрическими исследованиями, мне представляете обычно вид самой фигуры, хотя и в неадекватной ил неполной форме; это представление позволяет мне однако, осуществить необходимый синтез — тенденция которая, как мне кажется, является результатом тре нировки, полученной в раннем детстве.

Как бы это ни казалось парадоксальным, но очен часто для решения этих геометрических задач я успешн использую процесс, совершенно противоположный син! тезу, о котором я говорил выше. Случается, что я выделяю отдельную часть фигуры и рассматриваю се независимо от остального; это рассмотрение приводит меня к «результату-эстафете». Тем не менее, общее рассуждение даже в этом случае ощущается как единое целое, как синтез, в который включается и промежуточный результат, если он существует. Этот процесс, как утверждает Пьер Бутру', ссылаясь на Декарта, часто применялся в греческой геометрии.

Взаимоотношения полного и краевого сознания

Наблюдения, которые мы только что сделали, касаются функционирования мысли, когда она интенсивно концентрируется, идет ли речь о полностью сознательной работе или о подготовительной сознательной работе. Но, как мы это заметили в конце гл. II, та же самая концентрация позволяет нам различать полное сознание и сознание краевое; это различие достаточно трудно уловить при других обстоятельствах, но в этом случае оно относительно легко поддается наблюдению.

Что дают наблюдения относительно описанного выше феномена?

Априори можно предположить, что звенья рассуждения существуют в полном сознании, в то время как соответствующие представления вырабатываются в подсознании. Мои личные наблюдения с неизбежностью приводят меня к противоположному заключению: б;

¹ Бутру не дает, однако, точной ссылки. 76

фокусе моего сознания проходят последовательные образы, или, точнее, общий образ; сами же рассуждения ожидают, так сказать, в прихожей (см. стр. 27), чтобы быть введенными лишь в начале стадии «завершения». Этот случай очень ясно иллюстрирует природу и роль краевого сознания, которое находится, так сказать, на службе у полного сознания, готовое появиться каждый раз, когда в нем возникает необходимость.

Другие стадии исследования

Что происходит во время периода инкубации, когда действуют более глубокие слои бессознательного? Естественно, мы не располагаем прямым ответом, но есть все основания предполагать, что и в данном случае работает аналогичный механизм, поскольку он, видимо, наилучшим образом может удовлетворить двойному условию (а) и (б) (стр. 71), которое должно быть выполнено.

Уатт¹ отмечал, что образ и его значение должны быть частично связаны и в то же время независимы. Мне кажется, что такой тип одновременной взаимосвязи и независимости объясняется вмешательством краевого сознания.

Затем следует этап проверки и «завершения». На этом окончательном этапе я могу использовать алгебраические знаки; но достаточно часто я их не использую общепринятым и нормальным образом. Я не трачу времени на то, чтобы полностью записывать уравнения—моя единственная забота состоит в том, чтобы увидеть, так сказать, какой вид они имеют. Эти уравнения (или некоторые из их членов) часто бывают расположены весьма странным образом, как актеры на сцене, благодаря чему они мне «говорят», пока я продолжаю их рассматривать. Но если, после перерыва в работе, я рассматриваю эти каракули на следующий день, то они «мертвы» для меня. Обычно мне остается лишь бросить лист и начать все сначала, если только накануне я не получил одну или две формулы, которые

¹ Watt „Archiv. f. d. Ges. Psych", (1904), t. 4; см. также -G. Dumas „Traite de Psychologie", t. 1, chap. 4.

я полностью проверил и которые я могу использоват! как формулы-эстафеты.

Что касается слов, то они полностью отстутсвуют i моем мозгу до того момента, когда я начинаю сооб-3 щать эти результаты в устной или письменной форме или (очень редко) как результаты-эстафеты; в этом последнем случае они могут играть, как замети; Уильям Гамильтон, роль посредника, «необходимого чтобы придать стабильность нашему умственному про цессу, чтобы сделать из каждого нашего шага новук отправную точку для дальнейшего движения вперед» -в чем Гамильтон прав, с той лишь оговоркой, что эт; роль может играть не любой результат-эстафета '.

Другая концепция

Узнав немного о школе бихевиористов, я заинтересовался, какой точки зрения они придерживаются пс вопросу, который мы обсуждаем, и согласны ли они с моими наблюдениями. Мне кажется, что с точки зрения бихевиоризма мышление словами не является необ^: ходимым, но, с другой стороны, наши мысли могли бы «состоять» из мускульных движений, как, например, по жиманий плечами, движений век или глаз и т. д.

Я не могу припомнить движений такого рода все время моей исследовательской работы. Естественно, я не могу наблюдать свои движения, будучи глубоко погружен в работу, но свидетели моей частной жизни и работы могут подтвердить, что никогда не видели; ничего подобного. Они лишь замечали «отсутствующими взгляд, который у меня часто бывает, когда я напря-

¹ Уильям Гамильтон использует интересное сравнение: строи4 тельство тоннеля в песчаной почве. «При этом нельзя добитьс^ успеха, если не укреплять каждым метр, нет, каждый сантиметре каменной кладкой, прежде чем продолжать дальнейшую выемку. И речь в процессе мышления является тем же, чем каменная кладка при строительстве тоннеля. Умение думать и умение конагь не зависят от слов, в первом случае, и от каменной кладки—но втором; но без этих вспомогательных процессов мы остались шл на стадии примитивных попыток».

Вообще говоря, только что описанная зависимость демонстрирует то, что было названо результатом-эстафетой. В процесса! изобретения они не обязательно включают в себя слова.

женно работаю. Я мчгу лишь сказать, что не представляю себе такого типа движений, которые могли бы мне помочь иметь ясную точку зрения на ход более или менее сложных рассуждений; в то время как мы видели, что умственные образы, наоборот, явно способны помочь этому.

Анкета среди математиков

По этому вопросу было бы естественно опросить математиков. К сожалению, я не мог опросить французских математиков, так как занялся этой проблемой лишь после отъезда из Европы (эта книга была написана в 1943—1944 гг.).

Для математиков, которых я опросил в Америке, явления в большинстве своем аналогичны тем, которые я заметил на собственном опыте. Практически все — в противоположность тому заключению Гальтона, к которому его привел опрос случайных людей — избегают не только мысленного употребления слов, но так же, как и я, мысленного употребления точных алгебраических или других знаков; как и я, они используют расплывчатые образы. Имеется два или три исключения, самым важным из которых является математик Джордж Биркгоф, один из наиболее выдающихся во всем мире, который имеет привычку представлять себе математические знаки и мысленно с ними работать. Норберт Винер отметил, что ему случается думать и со словами, и без слов. Джесси Дуглас обычно думает без слов и алгебраических знаков; в конце работы его мысль связывается со словами, но лишь с их ритмом, в результате чего получается своего рода азбука Морзе, где отчетливо лишь число слогов. Конечно, это не имеет ничего общего с тезисом Макса Мюллера и скорее похоже на употребление Гальтоном слов без смысла.

Естественно, я опросил и одного из самых авторитетных ученых нашей эпохи — профессора Эйнштейна¹. Вот его ответ:

¹ Полный текст письма Эйнштейна в русском переводе напечатан в «Эйнштейновском сборнике», М., 1967. — Прим. ред.

«В этом письме я пытаюсь кратко и по мере мои сил ответить на ваши вопросы, Н0 я сам не удовлетворен своими ответами... /

Слова, написанные или произнесенные, не играют, видимо, ни малейшей роли в механизме моего мышления. Психическими элементами мышления являютс некоторые, более или менее ясные, знаки или образы: которые могут быть «по желанию» воспроизведены скомбинированы.

Существует, естественно, некоторая связь межд этими элементами и рассматриваемыми логическим' концепциями. Ясно также, что желание достигнуть конце концов логически связанных концепций являете эмоциональной базой этой достаточно неопределенно игры в элементы, о которых я говорил. Но с психологи ческой точки зрения эта комбинационная игра, видимо является основной характеристикой творческой мыс ли — до перехода к логическому построению в слова или знаках другого типа, с помощью которых эту мысль можно будет сообщать другим людям.

Элементы, о которых я только что говорил, у мен бывают обычно визуального или изредка двигательног типа. Слова или другие условные знаки приходите, подыскивать (с трудом) только во вторичной стадии, когда эта игра ассоциаций дала некоторый результат, и может быть при желании воспроизведена.

Из того, что я сказал, ясно, что игра в элементы нацелена на аналогию с некоторыми разыскиваемыми логическими связями».

Что касается «обычного» мышления, то профессор. Эйнштейн объясняет, что его образы являются «зрительными или двигательными. На том этапе мышления, когда слова почти не появляются, образы являются чисто слуховыми, слова же, как я уже говорил, появляются лишь во второй стадии...». Он оканчивает свое письмо словами: «Мне кажется, что то, что вы называете полным "сознанием, является лишь предельным случаем, который полностью никогда не осуществлялся. Мне это кажется связанным с явлением, которое называют узостью сознания (Enge des Bewusstseins)».

И он прибавляет следующее замечание: «Профессор Макс Вертгеимер пытался проводить опрос по поводу

различия между комбинированием или ассоциированием воспроизводимых элементов и пониманием (organisches Begreifen); я не могу судить, в какой мере его психологический анализ затрагивает существо вопроса»¹.

Случай Г. Пойя — я намерен говорить только о людях, сделавших безусловно важные открытия — совершенно другой. Чтобы закончить работу, он использует слова: «Я думаю,— писал он мне, — что решающая идея, которая приводит к решению проблемы, достаточно часто бывает связана с хорошо выбранным словом или фразой. Слово или фраза проясняет ситуацию, или, говоря вашими словами, дает вещам облик. Они могут немного предшествовать решающей идее, или следовать за ней непосредственно, или могут появиться одновременно с ней... Точное слово, тонко подобранное, помогает восстановить математическую идею, может быть менее полно и менее объективно, чем чертеж или математическая запись, но аналогичным образом... Это может способствовать тому, что оно останется связанным с идеей». Более того, он считает, что удачное обозначение— т. е. удачно выбранная для обозначения математической величины буква — может ему принести подобную же помощь и что некоторые каламбуры, плохие или хорошие, также могут быть полезными для этого. Например, преподавая в одном из Швейцарских университетов на немецком языке, Пойя обращал внимание своих студентов, что буквы Z и W являются начальными буквами немецких слов «Zahl» (число) и «Wert» (значение), и точно означают роли, которые Z и W должны играть в излагаемой им теории.

¹ Как видно, мыслительные процессы профессора Эйнштейна и общем аналогичны процессам, описанным в гл. VI, но естественно, что некоторые детали носят специфический характер. Наиболее существенное и замечательное различие связано с последним вопросом, оно касается роли краевого и полного сознания. Профессор Эйнштейн ссылается на «узость сознания»: тема, которую мы обсудили бы в гл. II, если бы не боялись зайти слишком далеко; этот вопрос исследуется в «Психологии» Уильяма Джеймса (гл. XIII, стр. 217 и следующие).

Было бы интересно сравнить идеи Макса Вертгеймера (связанного со школой гештальтпеихологии) не только со сказанным в гл. VI, но и с первой частью гл. VII.

6—1467 81

Случай Пойя мне кажется совершенно исключительным (я встречал еще лишь один такой случай среди тех, кто мне ответил) ¹. Но даж0 Пойя не использует слов как эквивалентов идеям, так как он использует одно-единственное слово или одну-две буквы, чтобы символизировать всю линию мысли; его психологический процесс перекликается с заявлением Стенли²: «Если речь играет роль указателя (индикатора), то она может это делать, лишь внушая нашему сознанию предмет, мысль или чувство, хотя практически этот предмет может появляться в наиболее обобщенной и наименее осознанной форме».

Мысленные образы математиков, от которых я получил ответы, чаще всего бывают зрительными, но они могут быть также и другого типа, например, двигательными. Могут быть и слуховые образы; но даже в этом случае, как это показывает пример Дуж Дугласа, они сохраняют свой неопределенный характер³. Для Куп-мапа «образы имеют скорее символическую, чем изобразительную связь с рассматриваемыми математическими идеями» — заявление, аналогичность которого со сказанным выше очевидна. Наблюдения профессора Купмана сходны с моими и в том, что такие образы возникают в полном сознании, тогда как соответствующие рассуждения временно остаются в «прихожей».

То же самое мы можем сказать и о наблюдениях Рибо собранных им во время опроса математиков. Некоторые из них говорили, что думают чисто алгебраическим образом, с помощью знаков; другие всегда нуждаются в «геометрическом представлении», «построении», даже если они его рассматривают как про стую «фикцию».

¹ Аналогичным описанному является случай профессора Ш> валле.

² Psychological Review v. 4 (1891), p. 71. Стенли (Stanle; говорит там в основном о поэтическом творчестве, где роль елс очевидно больше, чем в любом другом изобретательском процесс

³ Один из профессоров Колумбийского университета мне п писал, что у него математические раздумья сопровождаются обы по визуальными изображениями и почти никогда никакими ел вами, кроме тех, которые выражают удивление; раздражени экзальтацию и т. д.

⁴ Th. Ribot „Evolution des Idees generales", p. 143.

Некоторые идеи Декарта

В «Правилах для руководства ума», где во второй половине (начиная с 14-го правила) исследуется роль воображения в науке, Декарт как будто имеет в виду процессы, аналогичные тем, о которых мы говорили. По крайней мере, это можно заключить на основании анализа «Правил», сделанного П. Бутру¹. Например, по Бутру, Декарт считает, что «воображение само по себе неспособно создать науку... Тем не менее..., мы должны в некоторых случаях прибегать к нему. Прежде всего, фиксируя его на объекте, который мы хотим рассмотреть, мы ему помешаем запутаться или стеснять нас; затем, и что особенно важно, оно может пробудить в нас некоторые идеи». Далее: «Воображение будет особенно полезно, когда нужно решить задачу не посредством одной простой дедукции, но с помощью нескольких, не связанных между собой, результаты которых нужно сперва полностью перечислить, а затем согласовать. В самом деле, при этом нам более чем когда-либо будет необходима память в той или другой форме, чтобы помочь нам пересмотреть и связать уже полученные различные элементы доказательства, с тем чтобы вынести из них искомое общее решение; нам она будет необходима также для того, чтобы сохранить исходные данные задачи, если мы не воспользовались вначале всеми этими данными: мы могли бы их забыть, если бы не сохраняли постоянно в голове образа предмета, о котором мы рассуждаем, образа, который предоставляет их нам в любой момент».

Это та же роль образов, о которой мы говорили выше. Но Декарт не доверяет этому вмешательству воображения и желает полностью исключить его из пауки. Он даже упрекает древнюю геометрию за его использование. Он хочет исключить воображение из всех отраслей науки, сводя их все к математике (что он безуспешно пытался сделать), так как математика более, чем всякая другая наука, состоит из абстракций.

Чтобы понять, как мы должны расценивать такую идею, мы должны лишь вспомнить, как эта программа Декарта применяется современными математиками.

¹ Pierre Boutroux „L'Imagination et les Mathematiques selon Descartes", tome 10, p. 11, 18 (1900). 6* 83

/

Прежде всего, как хорошо известно, геометрия може быть полностью сведена к числовым комбинациям помощью аналитической геометрии, созданной сами Декартом. Но, с другой стороны, мы только что видели, что рассуждения в области теории чисел, по крайней мере для многих математиков, чаще всего могут сопро вождаться образами.

Недавно знаменитым математиком Гильбертом на совершенно другой основе была дана более строгая трактовка принципов геометрии, которые, рассужда логически, были освобождены от всякого обращения интуиции. Начало этой работы стало теперь классиче ским для математиков: «Рассмотрим три систем предметов. Мы назовем точками предметы, состав ляющие первую систему; прямыми — составляющи вторую, и плоскостями — третью»; эта редакни ясно означает, что мы не должны никоим образом зада ваться вопросом, что могут представлять из себя эт «предметы».

Логически ясно — и это самое существенное, — чт поставленная задача полностью достигнута и всяко вмешательство геометрического смысла исключено. Та ли обстоит дело с психологической точки зрения? Ко нечно, нет. Нет никакого сомнения, что Гильберт, созда вая свои «Основания геометрии», постоянно руководство вался своим геометрическим смыслом. Если кто-нибуд стал бы в этом сомневаться (чего не случится ни одним математиком), то достаточно ему лишь мелько просмотреть книгу Гильберта. Фигуры появляютс почти на каждой странице; они не помешают читате. лям-математикам подтвердить, что, рассуждая логически, ни один из конкретных образов не является необходимым '.

Здесь снова речь идет о том случае, когда автор руководствуется образами, не полагаясь на них, и это вновь оказывается возможным (по крайней мере для

¹ Как замечает Клейн, тот факт, что мы рассуждаем об угле в одну миллионную секунды, в то время как мы совершенно неспособны различить две стороны такого угла, является уже парадоксальным; и обсуждение этого парадокса Винтером (Winter, Revue de Metaphysique et de Morale, 1908, p. 323), одним из философов, которые лучше других разбираются в научных вопросах, показывает аналогию между этим обстоятельством и наблюдениями, которые мы приводим здесь.

меня) благодаря разделению труда между собственно сознанием и сознанием краевым '.

Декарт осуждает также обычай греческих геометров (см. выше) рассматривать отдельно какую-то часть той или иной фигуры. Нет никакого основания для такой критики. Мы находим здесь то же самое смешение процессов психических и логических. Рассматриваемый метод не угрожает строгости рассуждения, как и образ, упомянутый выше, не мешает доказательству того факта, что простые числа образуют неограниченную последовательность.

Другие мыслители

Мы имеем мало сведений по этому вопросу из других нематематических областей знания. Любопытно, что, согласно уже цитированной работе Бинэ (стр. 127—129), даже в «свободном» мышлении неопределенные образы могут возникать как представители более точных идей.

Примером, аналогичным только что данному описанию, является пример экономиста Сидгвика (Sidgwick), о котором он сам рассказал на Международном конгрессе экспериментальной психологии в 1892 г. Его рассуждения по экономическим вопросам почти всегда сопровождались образами: «Образы бывали часто совершенно произвольные и иногда с почти необъяснимым значением. Например, мне понадобилось много времени, чтобы понять, что странный символический образ, сопровождавший слово «стоимость», был частью расплывчатого изображения человека, кладущего что-то на весы». Очень любопытные явления, согласно Юлиусу Балю, происходят также у композиторов ²: некоторые из них в своем первоначальном замысле видят свои творения в зрительной форме (то, что Баль назы-

¹ Другой пример, который мы увидим в гл. VII (см. сноску на стр. 98) проиллюстрирует это еще ярче и более убедительно. При разборе этого примера из гл. VII не возникает никакого сомнения (по крайней мере у меня) по поводу способа, которым производится разделение работы.

² Julius Bahle „Der Musikalische Schaffensprozess", Hirzel Leipzig, 1936. Цитируется по книге Henri Delacroix „L'Invention et le Genie", p. 520.

вает Tonvision). Один из них чувствует, не имея щ малейшего точного музыкального представления! «основную линию и важнейшие свойства своей музыки.! С другой стороны, трудно сказать, до какой степени] музыка отсутствует в этой формальной схеме» *.

Я опрашивал лишь нескольких человек, из других] отраслей умственной деятельности. Их ответы различны, и я не могу утверждать, что результаты не могут! отличаться от тех, которые мы здесь приводим ².

Несколько ученых мне говорили о мысленных обра^ зах, совершенно аналогичных описанным выше. Напри| мер³, профессор Леви-Стросс, когда думает на| трудным вопросом, касающимся его этнографические исследований, видит, как и я, неопределенные схема-1 тические образы, которые обладают, кроме того, заме-| чательным свойством быть трехмерными. Несколько химиков, будучи опрошенными, также ответили, чтс думают абсолютно без слов, с помощью мысленны? образов.

Мозг психолога Андре Майера ведет себя совер-1 шенно другим образом: он мне говорил, что мысль ем) приходит в совершенно сформулированном виде, так] что ему не требуется никакого усилия, чтобы ее запн-J сать.

Было бы интересно узнать, как ведут себя в этом| смысле врачи во время такого трудного акта, ка^ установление диагноза. Я имел возможность спросит! об этом одного из наиболее известных медиков; ojj ответил, что думает в этих случаях без помощи слое хотя и использует слова в своих теоретических н науч-^ пых исследованиях.

¹ Один художник мне говорил, что на первой стадии работы' его визуальные представления являются произвольно расплывчатыми.

² Аристид Бриан, по словам одного из его ближайших сотрудников, часто имевшего возможность видеть его за работой, не думал словами, когда готовил свои речи. Слова появлялись в пи момент, когда их надо было произносить.

Конечно, стоило бы узнать мнение крупных представите.-] таких профессий, которым при работе приходится следить за всем ансамблем и за каждой деталью одновременно, например мнение крупных дирижеров.

³ Это также случай профессора Романа Якобсона (см. стр. 92). 86

Тип мышления, кажущийся сперва очень странным, был открыт психологом Рибо¹, который встречал его чаще, чем этого можно было бы ожидать: он называет это «визуальным типографским типом». Этот тип мышления состоит в том, что идеи предстают в форме соответствующих напечатанных слов. Первое открытие, которое сделал по этому поводу Рибо, касалось человека, которого он характеризует как хорошо известного физиолога; для этого человека слова «собака», «животное» (он жил среди собак и ежедневно ставил на них опыты) не сопровождались никакими образами, но оп их видел напечатанными. Точно так же, когда он слышал имя близкого друга, он его видел напечатанным, и ему нужно было сделать усилие, чтобы увидеть лицо этого друга. Так же было со словами «вода», «углекислый газ» или «водород»; его рассудок видел напечатанными либо их название, либо их химический знак. Рибо был очень удивлен этим заявлением, в искренности и точности которого он не мог сомневаться, но позднее он заметил, что этот случай не был единственным, и что подобное явление встречается у многих людей. , •

Более того, по Рибо, люди, принадлежащие к этому типу типографского видения, не могут представить, что мысль других людей может протекать по-другому.

Это то же состояние ума, которое мы уже заметили у Макса Мюллера, когда дело касалось более общего способа мышления словами. Этот случай является действительно поразительным, особенно, когда мы его встречаем у людей, привыкших к обсуждению философских вопросов. Как нам удивляться, что людей сжигали на костре из-за расхождений во взглядах по геологическим вопросам, когда мы видим, что такой крупный ученый, как Макс Мюллер в связи с безобидным психологическим вопросом употребляет презрительные слова по адресу своего старого учителя Лотце, так как тот написал, что логическое значение данного

¹ „L'Evolution des Idees Generales", p. 143.

У Жана Перрена, по словам его сына, возникали обрывочные изображения типографского типа. Франсис Перрсн думает обычно без слов, но время от времени какое-то слово у него появляется. У Сидгвика идеи возникали в типографском представлении, когда он думал не над экономическими, а над математическими пли логическими вопросами.

предложения не зависит от формы записи, в которо| оно выражено? *.

Таким образом, мы вовлечены здесь в обсуждени! раздела психологии, весьма далекого от предмета на| шего изучения. Некоторые части этой главы можь было бы назвать «Случай психологического непон| мания».

Это далеко не единичный пример того, что: 1) пс| хология различных индивидов может существенно pal личаться; 2) в этом случае одному, быть может, поч^ невозможно понять состояние рассудка другого ².

Лишено ли неудобств мышление словами?

Разумеется, я должен опасаться того же отсутстви| понимания. Конечно, я должен засвидетельствовать, чт не понимаю, как возможны типографское или какое

¹ Макс Мюллер соглашается, что «при некотором усилии» of может представить себе ход мысли такого явного противника, ка| Беркли и понять некий «вид философской галлюцинации», говор его словами. Но он не может понять того мнения, что бол! ш и н с т в о, а не все наши мысли выражаются в словах, или чтв большинство, а не все люди думают словами. Тот факт, чта некоторые из великих авторов говорят об этом не из-за «отсу^ ствия смелости», а потому что так оно и есть, явно выше его по ннмания.

² Сколь парадоксальным это ни является, есть два пример! такого же типа из области математики. За несколько лет до пер| вой мировой войны один математический вопрос, связанный с ме тафизикой, вызвал в нашей среде оживленные споры, особеннй между мной и одним из моих лучших и наиболее уважаемы* друзей, крупным ученым Лебегом. Мы вынуждены были конста| тировать, что по-разному понимаем очевидность — эту отправнук точку уверенности в мышлении всякого рода. Но, естественно, мь не стали презирать друг друга только из-за того, что мы поняли| невозможность взаимопонимания.

Второй пример касается теории множеств. Когда 1879—1884 гг. Георг Кантор опубликовал свои результаты по этой" теории (являющейся теперь одной из основ современной науки), один из этих результатов казался настолько парадоксальным и меняющим наши основные понятия, что он вызвал решительную недоброжелательность Кронекера, одного из ведущих математиков того времени. В связи с этим Кронекер даже помешал Кантору^, получить новый пост в немецких университетах, и ни одно из егсГ произведений не появлялось в немецкой периодике. Нужно ли гово-| рить, что доказательство этого результата ■ является столь ж^ ясным и строгим, как и всякое другое математическое доказатель-Я ство, и не дает никаких оснований оспаривать его.

нибудь другое словесное видение, и я с трудом могу себе помешать думать словами Гете:

«Denn wo Begriffe fehlen,

Da stellt ein Wort zur rechten Zeit sich ein». '

Но я не могу забывать о том, что такие люди, как Макс Мюллер и другие, не из' посредственностей, думают именно так, хотя я и не могу их понять.

В связи с этим я сожалею, что Рибо не опубликовал имя физиолога, о котором он говорит, и что поэтому мы не в состоянии составить себе мнение о ценности его труда.

Для тех из нас, кто не думает с помощью слов, основная трудность в понимании тех, кто думает словами, состоит в том, что мы не понимаем, как они могут быть уверены в том, что не введены в заблуждение словами, которые они используют (см. условие б) стр. 71).

Как сказал Рибо², «слово похоже на бумажные деньги (банковские билеты, чеки и т. д.), оно столь же полезно и столь же опасно».

Такая опасность не осталась незамеченной. Локк указывает на наличие значительного количества людей, которые используют слова вместо идей, и мы видели, что Лейбниц не мог не испытывать некоторую тревогу, касаясь влияния употребления слов в своем мышлении на ход мысли.

Любопытно, что сам Макс Мюллер косвенно говорит об этом. Он противопоставляет Канту своего друга Гаманна, которого он осыпает похвалами, и цитирует его: «Речь является не только основой всякого мыслительного процесса, но одновременно и центральной точкой, от которой начинается и непонимание рассуд-

¹ Ибо, где не хватает понятий, там вовремя словечко вставят. См. «Фауст», ч. 1, пер. Б. Л. Пастернака, где эти строки переданы гак:

Бессодержательную речь

Всегда легко в слова облечь. — Прим. ред.

² Th. Ribot, „Psychologie de l'Attention", p. 85.

Рибо описывает одновременно развитие этой функции слова. Он пишет: «Обучение счету детей, или, еще лучше, дикарей, показывает, как слово, связанное первоначально с предметами, а затем с понятиями, отделяется постепенно от них и становится независимым».

ком самого себя. Для меня проблемой является выяснение не того, что такое рассудок, но что такое речь. Я подозреваю, что именно там кроется причина ложных умозаключений и противоречий, в которых обвиняют рассудок».

Все было бы хорошо, если бы в заключение Макс Мюллер посоветовал нам остерегаться таких недоразумений, причиной которых является речь; но, напротив, он считает, что слова сами по себе не могли бы никогда повести к ошибке: «Слово само по себе является ясным, простым, точным; но мы сами его перемещаем, засовываем неизвестно куда и этим производим нечто сумбурное».

Я не заговорил бы снова о Максе Мюллере, если бы заявление, содержащееся в этом отрывке из .Introductory Lectures, не шло бы дальше уже исследованного вопроса употребления слов в мышлении. Однако непосредственно после этой цитаты из Гаманиа, следуя, видимо, своему специфическому подходу, он нам говорит о «науке мысли, основанной на науке речи». Не хочет ли он заставить нас поверить, что речь должна не только сопровождать мысль, но должна даже ею руководить?

К несчастью для этого тезиса такая попытка ему не всегда удается: нужен был человек, который отожде-ставляет слова и мысли, чтобы атаковать теорию Дарвина *, принимая во внимание лишь слово «селекция» и пренебрегая как мнимой «метафорической маской», смыслом слова «селекция» у Дарвина.

Напротив, мыслитель, использующий слова в процессе мышления, может понять, что не только слова, но и вспомогательные знаки любого другого вида играют лишь роль своего рода этикетки, скрепленной с идеей. Он более или менее сознательно (что было бы интересно изучить) пользуется методами, пригодными для того, чтобы обеспечить именно такую, а не какую-нибудь другую роль. Мы видели, что сам Пойя, единственный из опрошенных мною математиков, мыслящий с помощью слов, вводит лишь одно слово в целую последовательность мыслей, чтобы выделить центральную идею, в то время как для Джесси Дугласа некоторые из

¹ „The Science of Thought", tome, 1, p. 97. 90

слов представлены простым ритмом их слогов. Один из моих коллег, специалист по литературе, думает с помощью слов, но он вводит время от времени несуществующее слово. При сравнении этого процесса с приводимым Дугласом и Гальтоном, становится очевидно, как мне кажется, что они сводятся к одному и тому же.

Мы можем быть уверены, что в мышлении Лейбница не происходило недоразумений, которых боится Гаманн: во-первых, потому, что это был Лейбниц, и, во-вторых, потому, что он отдавал себе отчет в опасности. И хотя я лишь немного знаком с теориями метафизиков, меня несколько беспокоит то, что (как я прочел в «Эволюции общих идей» Рибо) среди них зрительный типографский тип кажется одним из наиболее общих.

Действительно, среди философов, кажется, имеется некоторая тенденция путать логическую мысль с использованием слов. Например, трудно не отметить ■яого у Уильяма Джеймса, когда он жалуется ', что <мы так подчинены философской традиции, обсуждающей обычно «логос» или рассуждение как единственный путь к правде, что возвращение к жизни животной и «необлеченной в слова» сыграло бы пожалуй роль откровения». Выражение «необлеченной в слова» почти не оставляет сомнения, что он использует слово «логос» в древнегреческом смысле.

Не может ли эта тенденция запутать в конце концов тех, кто ею руководствуется? Читая возражения Фуйе против бессознательного в его произведении ;EvoIutionnisme des Idees— Forces» (см. гл. II, стр. 25), спрашиваешь себя, не выдвигает ли он слова вместо доводов.

Я испытываю некоторую неловкость, когда вижу, что Локк, как и Стюарт Милль, считает необходимым использование слов каждый раз, когда речь идет о сложных идеях. Я, как и большинство ученых, думаю, что чем труднее и сложнее вопрос, тем меньше мы можем доверять словам, тем яснее понимаем, что должны контролировать этого опасного союзника и его подчас предательскую точность.

¹ William James, „A Pluralistie Universe", p. 272.

Одно ценное описание

Хотя по вопросу об употреблении слов в мышлени| встречаются еще различные мнения, теперь принят! считать, что наличие слов необязательно. С друго! стороны, многие современные психологи, продолжав настаивать на словах¹, заметили, как и мы, вмешатель| ство неопределенных образов, которые представляь идеи лишь символически².

Я не буду заниматься резюмированием этих прор ведений; но я не могу противостоять желанию воспр| извести очень интересное сообщение, любезно адрес ванное мне профессором Романом Якобсоном, которь помимо своих хорошо известных лингвистических раб1 проявляет глубокий интерес к психологическим вопр| сам. Вот оно:

«Знаки — необходимая поддержка для мысли. Дл| мысли, обращенной к обществу (стадия сообщения), для мысли, находящейся в процессе подготовки к этом| (стадия формулировки), наиболее обычной системо! знаков является собственно речь; но внутренняя мысл1< особенно когда это мысль творческая, охотно исполй зует другие системы знаков, более гибкие и мене! стандартизованные, чем речь, и которые оставляю! больше свободы, подвижности творческой мысли. | Среди этих знаков и символов надо различать, с одно! стороны, условные общепринятые знаки и знаки индк видуальные, которые, в свою очередь, могут подразде ляться на постоянные знаки, употребляемые обычно, знаки эпизодические, созданные ad hoc и участвующие^ лишь в одном созидательном акте».

Этот замечательно точный и глубокий анализ поразительно отчетливо освещает наблюдения типа тех, о1 которых мы говорили выше. Такое согласие между! умами, работающими в совершенно различных областях,— факт замечательный.

¹ См. Delacroix „Le- Langage et la Pensee", p. 381 и далее, и сравнить с замечаниями на стр. 406.

² См. также Titchener „Experimental Psychology of Thought Processus", в особенности лекцию 1 и соответствующие а мечания.

Сравнение с другим вопросом по поводу воображения

Можно сказать, что образы составляют основную тему знаменитого произведения Тэна «Об уме». Он их рассматривает с точки зрения, достаточно отличной от пашей (так как концентрированная мысль им не была рассмотрена). Однако на один вопрос, его особенно интересовавший, проведенные нами наблюдения могут пролить, возможно, некоторый свет. Он настойчиво обращал внимание на то, что следовало бы объяснить, как происходит, что некоторые образы являются нам иногда очень живо, и тем не менее отличаются от реальных ощущений; как ум может различать образы п галлюцинации '.

Но в нашем случае также имеется вереница образов, развивающаяся параллельно с собственно мыслью. Два умственных процесса, образы и рассуждения, постоянно влекут за собою друг друга, оставаясь в то же время совершенно различными и даже до некоторой степени независимыми; и мы нашли, что это обусловлено сотрудничеством между собственно сознанием и сознанием краевым. Можно предположить, что существует определенная аналогия между этими двумя явлениями и что одно может помочь понять другое.

Можно ли воспитывать воображение?

Проведенное выше исследование подсказывает вопрос, аналогичный уже поднимавшемуся в конце гл. IV. Возможно ли и желательно ли, чтобы наша воля оказывала влияние на природу вспомогательных знаков, используемых при мышлении? Этот вопрос изучался: Титченер проявил замечательную инициативу в этом смысле. Как он объясняет², его естественной тенденцией является использование мысленной речи; но он всегда стремился, и всегда успешно, к большому диапазону и большой гибкости воображения, «опасаясь,

¹ Тот же вопрос занимает большое место в некоторых психологических исследованиях Варендонка. См. Varendoncq „Psychology of Day Dreams", особенно chap. II, p. 75—86.

² Experimental Psychology of the Thought Processus", p. 7 и далее.

что с возрастом возникает тенденция становиться вс' более словесным типом».

Таким образом, слишком активное вмешательство речи в его мышление сдерживалось постоянной сменой образов. Еще более любопытно то, что он использует этой целью не только зрительные образы, но также, даже в основном, слуховые, в частности музыкальные?

Но он использует также и помощь зрительной воображения, «которое всегда в моем распоряжении которое я могу формировать и направлять по желани 'Читая какое-либо произведение, я интенсивно упоря чиваю факты или аргументы в соответствии со з тельной моделью и я могу думать в терминах эт модели так же легко, как и словами»; и чем луч произведение соответствует этой модели, тем лучше его понимает.

Подобное самовоспитание умственных процесса: мне кажется одним из самых замечательных достиж ний психологии.

Общие замечания

Все сказанное касается людей, занимающихся ум ственной работой. Исследования среди других групц населения связаны со следующей трудностью: как мы; видели, законы концентрированной мысли могут очень сильно отличаться от общих законов образования идей, встречающихся у обычных людей. Это, вероятно, являет-, ся причиной, из-за которой Гальтон, хотя и видел не обходимость более общей анкеты, не был в состояни ее провести.

Как бы то ни было, мы видим, что хотя то, что м"^! говорили в предыдущих главах, кажется общим для различных творческих умов, природа вспомогательных конкретных представлений может у них значительно различаться.

ГГ!1

ГЛАВА VII

Явления, которые мы рассматривали в первых пяти главах, по-видимому, сходным образом наблюдаются у многих специалистов-математиков. Напротив,… Случай здравого смысла Начнем с начала, а именно с людей, рассуждающих просто здраво: мы можем сказать, что у них бессознательное играет…

I

исключительных точек) кривая будет иметь касательную (другими словами, в каждый момент движение обязательно происходит во вполне определенном направлении). Мы не знаем, как здравый смысл — т. е. наше бессознательное — приходит к такому выводу; может быть, благодаря опыту, т. е. вспоминая кривые, которые мы привыкли видеть; или, как это предполагает Ф. Клейн, смешивая геометрические кривые, которые не имеют толщины, с кривыми, которые мы реально можем провести и которые всегда имеют некоторую толщину. В действительности вывод ошибочен: математики умеют строить непрерывные кривые, которые нигде не имею касательной.

В качестве второго примера рассмотрим замкнутую плоскую кривую, которая не имеет «двойных точек», т. е. нигде не пересекается сама с собой. Для здравого смысла очевидно, что такая кривая, какова бы ни была ее форма, делит плоскость либо на две различные области, либо более чем на две. Точно не известно, как здравый смысл приходит к такому выводу, и вероятно, что здесь снова налицо вмешательство эмпиризма. На этот раз заключение (теорема Жордана) правильно, но, несмотря на его очевидность для нашего здравого смысла, его доказательство очень трудное.

С помощью таких примеров можно понять, что, по крайней мере для некоторого класса вопросов, связанных с основами *, невозможно с уверенностью полагаться на нашу обычную пространственную интуицию: так же, как геометрические свойства могут быть сведены к свойствам аналитическим благодаря -аналитической геометрии, рассуждения всегда должны быть полностью арифметизованы; или, по крайней мере, необходимо убедиться, что такая арифметизация возможна, даже если она для краткости не проводится. Слова Паскаля «Все, чего не может геометрия, не можем и мы» заменены современными математиками словами «Все, чего не может арифметика, не можем :и мы».

" Вопросы, которых мы здесь слегка коснулись, связаны больше с -а^ифметизацией, чем с теми идеями Гильберта, о которых мы упоминали в главе IV.

7—1467 97

Например, доказательство теоремы Жордана, сфо{ мулированной выше, является удовлетворительны! лишь тогда, когда оно полностью арифметизовано'

Вторая стадия — изучение математики

Эти особенности помогут нам понять, что происхо-. дит, с точки зрения психологии, при переходе от первой! стадии ко второй; другими словами, понять… Известно, до какой степени обычным делом здесь! являются полное непонимание и… 1 Тут можно сделать то же заключение, что и по поводу «Основ геометрии» Гильберта. Я дал упрощенное доказательство…

I

Как получается, что столько учеников неспособны ,_v этому виду работы, неспособны понимать математику? Пуанкаре рассмотрел именно этот вопрос', и он ярко показал, какова здесь действительная причина, источник которой — тот смысл, который следовало бы придавать слову «понимать».

«Понять доказательство теоремы,— значит ли это исследовать последовательно каждый из силлогизмов, из которых она состоит, и констатировать, что он корректен и соответствует правилам игры? Да, для некоторых; установив это, они скажут: я понял.

«Но не для большинства. Почти все остальные лвляются гораздо более требовательными; они хотят ;нать не только, все ли силлогизмы в доказательстве керны, но также почему они связываются в таком порядке, а не в другом. Так как они считают это порождением каприза, а не ума, постоянно и сознательно стремящегося к цели, они считают, что не поняли.

«Несомненно, они не вполне отдают себе отчет в гом, чего требуют, и они не сумели бы сформулировать свое желание, но если они не удовлетворены, то они смутно чувствуют что им чего-то не хватает».

Легко понять связь между сказанным и нашими предыдущими рассмотрениями. Чтобы преподавать vctho или письменно, надо дать каждую часть доказательства в совершенно осознанном виде, в соответствии с одновременными стадиями проверки и «завершения», которые мы описали выше. При этом, думая о будущих следствиях, обычно стараются увеличить цисло результатов-эстафет. При таком подходе (который кажется наилучшим для получения ясного и строгого представления у начинающего) не остается ничего от синтеза, важность которого мы подчеркнули в предыдущей главе. Этот синтез является для нас поводырем, без которого мы были бы как слепые, умеющие ходить, но никогда не знающие направления, в котором надо идти.

Те, кто может видеть такой синтез, «понимают математику». В противном случае, имеются две тактики, отмеченные Пуанкаре (см. выше), и обычно вторая тактика преобладает: студент чувствует, что чего-то не

¹ „Science et Methode", p. 104. 7* 99

хватает, но никак не может понять, в чем же ДелвИ если он не преодолеет эту трудность, все потеряно. щ

В первом из указанных Пуанкаре случаев студенте не найдя никакого подхода для синтеза, обходится бея последнего. Хотя это и позволяет ему продолжать^ учебу (часто в течение многих лет), его случай с некоторой точки зрения хуже, чем у другого; тот понимает, по крайней мере, существование трудности. Так как требуется все больше и больше математиков для различных областей, такой тип студента встречается часто. Однажды я опрашивал студента, который, руководствуясь своим здравым смыслом, знал верный ответ на мой вопрос, но не думал, что он всегда вправе так ответить, и не отдавал себе отчета в том, что указания его подсознания могли быть легко преобразованы в правильное и строгое доказательство.

Любопытные примеры такого типа часто встречаются среди студентов, занимающихся дифференциальным и интегральным исчислением. Чаще всего они задают себе вопрос, можно ли опираться на такую теорему или формулу и выполнены ли условия ее применимости; и они иной раз из-за этого причиняют себе немало хлопот, в то время как здравый смысл указывает, что ответ практически очевиден... и с другой стороны, они пренебрегают такой предосторожностью в тонких вопросах, заслуживающих внимательного исследования! Это замечание и другие аналогичные могут при случае оказаться полезными в педагогике.

Логические и интуитивные умы. |

Политический аспект вопроса I

Поговорив о студентах, перейдем к самим матема-' тикам, способным не только понимать математические теории, но и выдвигать новые. Они отличаются не только от студентов, но и между собой. Было подчеркнуто основное различие: некоторые математики «интуитивны», другие — «логики». Об этом различии говорил Пуанкаре, так же как и немецкий математик Клейн. Доклад Пуанкаре на эту тему' начинается так:

¹ Н. Poincare, „Valeur de la Science", p. 11. 100

«Одни прежде всего заняты логикой; читая их работы, думаешь, что они продвигались вперед шаг за шагом с методичностью Вобана, который готовит штурм крепости, ничего не оставляя на волю случая. Другие руководствуются интуицией и с первого удара добиваются побед, но иногда ненадежных, так же, как отчаянные кавалеристы авангарда».

Клейн доходит до введения в вопрос политики; он утверждал в 1893 г.¹: «кажется, что сильная пространственная интуиция присуща тевтонской науке, в то время как чисто логический критический дух более развит в латинской и еврейской расах». Такое утверждение противоречит фактам, что будет ясно видно, когда мы перейдем к примерам. Несомненно, что, говоря об этом, Клейн недвусмысленно рассматривает интуицию с ее таинственным характером как нечто высшее по отношению к прозаическому пути логики (мы уже встречались с подобной тенденцией в гл. III),и он, очевидно, счастлив провозгласить такое превосходство своих соотечественников. Совсем недавно мы были свидетелями того, как нацисты провозгласили этот особый вид этнографии, мы видим, что нечто подобное существовало уже в 1893 г.!

Такую тенденциозную интерпретацию фактов находишь всякий раз, когда в игру вступают националистические и расистские страсти. В начале первой мировой войны один из наших самых крупных ученых и историков науки физик Дюгем был, точно так же, как и Клейн, сбит с толку, но в противоположном смысле. В достаточно подробной статье² он изображает немецких ученых, особенно математиков, как людей, лишенных интуиции или даже как сознательно ее отметающих. Особенно трудно понять, как он может так характеризовать Римана, который несомненно является одним из наиболее типичных примеров интуитивного ума. Утверждение Дюгема в 1915 г. мне кажется столь же необоснованным, как и утверждение Клейна в 1893 г. Если бы тот или другой был прав, то из всего сказанного читатель сделал бы вывод, что либо французы, либо немцы никогда не делали важных открытий. Единственная тенденция, в которой я мог бы

¹ Klein, „The Evanston Colloquium", p. 46.

¹ „Revue des Deux Mondes", январь — февраль, 1915, p,657.

упрекнуть с этой точки зрения немецкую математическую школу, состоит в систематических попытках . мало обоснованных и несколько педантичных (особенно под влиянием Клейна)—утверждать, что в некоторых доказательствах анализа и в его арифметических приложениях предпочтительнее употреблять ряды, чем интегралы. Как раз в этих вопросах использование рядов кажется более логичным и использование интегралов более интуитивным. В этой тенденции проявляет^ ся, может быть, еще некоторый национализм, так кан ряды использовались знаменитым Вейерштрассом-Ш совершенно очевидным представителем логическая умов,— репутация которого и влияние на немецкий ученых были огромны, в то время как Коши и Эрмм в аналогичных случаях вводили интегралы ' (что делалИ впрочем, и Риман). Щ

Точка зрения Пуанкаре на это различие

Пуанкаре — более мудро, я полагаю — не переводит, вопроса в политический план. Напротив, он показьш вает, насколько сомнительна эта точка зрения и, чтоб£и проиллюстрировать противоположность этих двух видощ умов, он сравнивает между собой двух французов, затем двух немцев.

Я был полностью согласен с идеями Пуанкаре на протяжении первых пяти глав, но на этот раз я с ним разойдусь во взглядах. На стр. 101 мы цитировали первую фразу его доклада, воспроизведем теперь вторую.

«Отнюдь не обсуждаемый ими вопрос заставляет их использовать тот или другой метод. Если часто об одних говорят, что они аналитики, а других называют геометрами, то это не мешает тому, что первые остаются аналитиками, даже когда занимаются

¹ Из-за таких взглядов на вещи Клейн считал необходимым изменить доказательство одной знаменитой теоремы Эрмита; в одном месте он даже заявляет, что «доказательство не является еще достаточно простым, в нем видны еще следы идей Эрмита»; и это привело его к новому изменению. На самом же деле эти «упрощения» являются поверхностными и после них, как и раньше, все — абсолютно все существенное — базируется на основной идее Эрмита.

вопросами геометрии, в то время как другие являются геометрами, даже если занимаются чистым анализом. Сама природа их ума делает их «логиками» или «интуитивистами» и они не могут переродиться, когда принимаются за новую тему».

Что мы должны думать, сравнивая эти два абзаца? Дважды было подчеркнуто различие между интуицией и логикой, но на совершенно различных, хотя и имеющих друг к другу некоторое отношение, основаниях.

Это становится еще более очевидным при рассмотрении примеров, данных Пуанкаре. Жозефу Бертрану, который совершенно очевидно имеет конкретные пространственные представления по всем вопросам, он противопоставляет Эрмита, чьи глаза «кажутся лишенными контакта с миром» и который ищет «видение истины изнутри, а не снаружи» (там же).

Конечно, Эрмит не имел привычки думать конкретно. Он испытывал своего рода ненависть к геометрии и однажды, как ни странно, упрекнул меня в том, что я опубликовал мемуар по геометрии. Естественно, его собственные работы по конкретным вопросам редки и не относятся к числу его самых замечательных. Таким образом, в соответствии со вторым заявлением Пуанкаре Эрмит должен рассматриваться как математик с логическим складом ума.

Но считать Эрмита логиком! Ничто не может мне казаться менее правдоподобным. Казалось, что методы всегда рождались в его уме каким-то таинственным образом. На его лекциях в Сорбонне — которые мы слушали с неизменным восторгом — он любил начинать свои рассуждения словами: «Начнем с тождества...»; затем он писал формулу, точность которой можно было гарантировать, но ни происхождения которой, ни метода открытия он не объяснял — и мы не могли о них догадаться. Это качество его ума отчетливо проявилось при открытии им знаменитых квадратичных форм; в этом вопросе возможны два случая и очевидно, что их свойства совершенно различны. В первом случае «приведение» было известно со времен Гаусса. Казалось, что никому не могло прийти в голову применить ко второму случаю выкладки, используемые в первом, так как они, видимо, не имели с ним ничего общего;

казалось совершенно абсурдным, что они могут и этом случае привести к решению; и тем не менее, по средством своего рода колдовства, они к нему привели.. Механизм этого исключительного явления был несколькими годами позднее частично объяснен с помощью* геометрической интерпретации (данной, естественно, не: Эрмитом, а Клейном); но для меня она стала совершенно ясной лишь после того, как я познакомился с соответствующей концепцией Пуанкаре, в одной из его первых заметок К Я не могу себе представить более совершенного типа интуитивного ума, чем Эрмит. Итак, пример Эрмита неукоснительно показывает, чт два определения интуиции и логики, данные Пуанкаре не совпадают, по крайней мере не вполне совпадаю что в какой-то мере признал сам Пуанкаре именно связи с примером Эрмита.

Двумя немецкими метаматиками, которых сравнивает Пуанкаре, являются Вейерштрасс и Риман. Несомненно, что, как заключает Пуанкаре, Риман — ткь

¹ Сам Пуанкаре, несмотря на явление озарения, о котором мы говорили, никогда не производил на меня такого впечатления. ■" Когда я читал одну из его крупных работ, у меня складывалось впечатление, что, как она ни замечательна, ее уже давне» должны были бы сделать (что, очевидно, является заблуждением); а то время как работы Эрмита, вроде той, о которой я говорил, вызывали у меня следующую мысль: «Какие замечательные результаты! Как он мог додуматься до такой вещи!»

Ясно, что такое суждение является в некоторой степени субъективным: вывод, который мне кажется логическим, т. е. соответствующий моему мышлению, и который для меня естественен,, может показаться другому интуитивным. Почти все математики должны казаться самим себе логиками. Например, меня спросили,. как я мог догадаться использовать для интегрирования уравнений в частных производных прием «главной части расходящегося интеграла»; конечно, если этот прием рассматривать сам no себе,, то он может показаться типичным примером «мышления около». Но в действительности мой рассудок долгое время противился такой идее, до тех пор, пока я не был вынужден этого сделать; я пришел кией шаг за шагом и читатель-математик легко проверит это, если возьмет на себя труд посмотреть мои исследования по этому вопросу, особенно мои «Исследования о фундаментальных решениях и по интегрированию линейных уравнений в частных производных», 2-й мемуар, в частности, начиная со стр. 121 (Annales Scientifiques de I'Ecole Normale Superieure, tome XXII, 1905). Я ие мог избежать этого метода, как заключенный в поэме Эдгара По «Маятники колодец» не мог избежать колодца в центре своей камеры.

пичный интуитивист, а Вейерштрасс — типичный логик.. Но по поводу этого последнего Пуанкаре замечает: «Можно просмотреть все его книги, и вы не найдете в них ни одного чертежа». Здесь допущена одна фактическая ошибка¹. Действительно, почти ни в одном из мемуаров Вейерштрасса нет чертежей; существует лишь одно исключение, но оно существует и находится в одном из его самых замечательных и наиболее сжатых произведений, которое производит наиболее яркое впечатление совершенства: я говорю о его фундаментальном методе в вариационном исчислении. Вейерштрасс там помещает один единственный чертеж² и, опираясь на него, все дальнейшее выводит глубоко логическим методом, который является несомненно ему свойственным; так что достаточно каждому, кто хорошо знает математические методы, бросить взгляд на этот чертеж, чтобы восстановить весь ход рассуждений. Но для построения этой фигуры требовалась, естественно, начальная интуиция. Это было тем более трудным и гениальным актом, что требовалось порвать с общепринятыми методами, которые непрерывно приносили все новые успехи со времен изобретения исчисления бесконечно малых; в частности, Лагранж успешно применил исчисление бесконечно малых для получения первой части решения, но больше никому не удавалось его правильно дополнить. Вейерштрасс показал, что для получения результата надо полностью отойти от традиционных методов и оперировать непосредственно. Как видно, в действительности этот случай является ярким примером того общего факта, что логика идет вслед за начальной интуицией.

Использование полученных нами результатов

Итак, мы вынужены признать, что не существует единого определения интуиции, противоположной логике, но что их существует по крайней мере два. Чтобы

¹ Ошибка, которую, однако, не надо ставить в упрек Пуанкаре (см. следующее замечание).

¹ Неизвестно, сам ли Вейерштрасс начертил эту фигуру или он только описал ее словесно, так как излагал он этот метод лишь в своих устных курсах н в течение многих лет метод оста-» вался неизвестным для всех, кроме его учеников.

разобраться в этом, почему бы не воспользоваться рс зультатами нашего анализа этих явлений?

Резюмируем результаты этого анализа: вспомню что всякая умственная работа, в частности работа на^ открытием, влечет за собой сотрудничество бессознг тельного или поверхностного или (достаточно часто! более или менее глубокого; что в этом бессознательно» после предварительной сознательной работы происхс дит та вспышка идей, которую Пуанкаре сравнил более или менее беспорядочным выбросом атомов, и чт конкретные представления обычно используются умо! для фиксации комбинаций и их синтеза.

Следствием этого является прежде всего то, чт<| говоря строго, практически не существует чисто логич« ских открытий. Вмешательство бессознательного необх^ димо по крайней мере для того, чтобы стать отпрай ным пунктом логической работы.

С этой оговоркой, мы немедленно замечаем, чт процессы, аналогичные только что описанным, Morj протекать различно в разного типа умах:

А) более или менее глубоко в бессо^ нательном. Так как мы знаем, что в бессознател^ ном должны существовать различные уровни, некот^ рые из которых находятся совсем близко к сознании а другие лежат более или менее глубоко, то ясно, что" уровни, где встречаются и комбинируются идеи, могут быть либо глубокими, либо, напротив, поверхностными; поэтому есть основания считать, что с этой точки зрения каждый ум ведет себя по-своему.

Совершенно естественно говорить об уме более интуитивном, когда зона комбинирования идей находится глубоко, и об уме логическом, если эта зона расположена достаточно поверхностно. Такой способ рассматривать различие мне кажется наиболее соответствующим существу вопроса.

Если эта зона глубока, то результаты будет труднее довести до сведения сознания, и вероятно, что ум будет иметь тенденцию делать это лишь тогда, когда это строго необходимо. Я охотно могу предположить, что таков был случай Эрмита, который никогда не опускал ни одного существенного элемента в результатах своих раздумий, так что его методы были вполне корректны

и строги, но при этом не оставалось ни малейшего следа способа, который его к ним привел.

Может произойти обратное: умы могут быть устроены таким образом, что идеи, выработанные в недрах бессознательного, тем не менее полностью доходят до сознания. Я мог бы охотно представить себе это в случае Пуанкаре, идеи которого, хотя и могли быть рождены достаточно глубокой интуицией, обычно казались проделавшими совершенно естественный путь. Как видно, можно казаться логиком при формулировке своих идей, но после того, как эти идеи были открыты путем интуиции '.

Б) Мысль более или менее узко направленная: мы видели, что выброс атомов Пуанкаре — образование идей, говоря менее метафорическим языком— может быть более или менее рассеянным. Это еще одно основание для того, чтобы у нас могло сложиться представление или об интуитивном уме (в случае, когда рассеивание велико), или об уме логическом (в противоположном случае); и это второе основание может, априори по крайней мере, не иметь никакого отношения к первому: угол, в котором заключена мысль, может быть различным, но независимо от того, насколько глубок слой бессознательного, в котором эта мысль развивается. Априори мы не знаем, есть ли связь между этими двумя видами «интуитивных тенденций», но один пример (пример Галуа, как мы увидим дальше) нам покажет, что они действительно независимы.

В) Различные вспомогательные представления: мы видели, как сильно различаются ученые по способу использования умственных образов или других конкретных представлений: эти различия могут касаться либо природы представлений, либо способа, которым они влияют на работу мозга. Ясно, что некоторые виды представлений могут дать мысли ход более логический, другие — ход более интуитивный. Но эта сторона вопроса является гораздо менее доступной

¹ Вообще говоря, как замечают некоторые авторы (см. Meyerson, „Du cheminement de la Pensee", t. 1, цитируется по Henri Delaroix, „L'Invention et Ie Genie", p. 480), часто существует большая разница между открытием какой-нибудь идеи и ее выражением в словах.

для изучения именно потому, что явления не всегд сравнимы для различных умов.

Очень общим является использование образов, они очень часто бывают геометрической природы. Был бы интересно иметь по таким вопросам самонаблюд ния Эрмита, который всегда казался витающим вн конкретных представлений (в моем собственом случае когда я думаю об аналитических вопросах, роль геометрических образов совершенно отлична от той, которуг они играют, когда речь идет о геометрических исследованиях).

Другие различия между математическими умами

Вопрос, который мы только что обсуждали, являете единственным исследованным до сих пор вопросо касающимся различных видов математических умо естественно, нет никакого сомнения, что математик¹ могут различаться и с других совершенно различны точек зрения.

Например, существует одна теория — теория груп важность которой в нашей науке не переставала возра стать в течение более чем века, особенно после трудо Софуса Ли в конце XIX века. Некоторые математик в частности некоторые современники, обогатили ее бл стящими открытиями. Другие — и я признаюсь, чт принадлежу к их числу — будучи способны использ вать её в простых приложениях, испытывают непреод лимые трудности при попытке познать эту теорию глу же. Было бы интересно открыть психологическую осног, такого различия умов, различия, которое мне кажетс", несомненным.

ГЛАВА VIII

ПАРАДОКСАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ ИНТУИЦИИ

Если у некоторых умов, исключительно интуитивных, идеи могут рождаться и комбинироваться в еще более глубоких слоях бессознательного, как мы только что рассмотрели, то возможно, что даже очень важные звенья дедукции могут оставаться неизвестными даже самому автору. История науки дает несколько замечательных примеров этого.

Ферма (1601 — 166 5). Пьер Ферма был магистром, советником тулузского парламента. В то время жизнь была менее сложной, чем сейчас, и его служебные обязанности, вероятно, не были ему помехой в его весьма значительных математических исследованиях. Кроме участия в первом этапе построения исчисления бесконечно малых и даже в создании теории вероятностей, он активно занимался вопросами теории чисел. Среди трудов древних математиков, которыми он располагал, был перевод Диофанта, греческого ученого, который занимался арифметическими вопросами. После смерти Ферма в его экземпляре Диофанта нашли на полях следующее замечание (по латыни):

«Я доказал, что соотношение x^m+y^m=zⁿi невозможно в целых числах (х, у, z отличны от нуля, m больше чем 2). Но на полях недостаточно места, чтобы записать доказательство»'.

Три века прошло с тех пор, и все еще ищут доказательство, которое Ферма мог бы написать на полях, если бы они были больше. Тем не менее кажется, что Ферма не ошибся, так как частные доказательства для некоторых обширных классов значений показателя m найдены; например, нашли доказательство для всех m до 100 ². Но огромная работа, которая сделала возможным получение этих частных результатов, не могла

¹ По форме, но не по существу, фраза в тексте несколько отличается от записи, сделанной Ферма.— Прим. ред.

² К настоящему времени известно, что соотношение xm+ym_=ztn неразрешимо в целых числах для т^2521. — Прим. ред.

быть произведена путем прямых математических раС-1 суждений ': эта работа требовала применения несколь-' ких важных алгебраических теорий, которые были совершенно неизвестны в эпоху Ферма, и никаких] намеков на которые нет в записях Ферма. После того как в течение XVIII и начала XIX века ^; были установлены некоторые основные положения^ алгебры, немецкий математик Куммер, чтобы приступить к проблеме «последней теоремы Ферма», должен i был ввести новое и смелое понятие «идеала» — грандиозная идея, которая полностью революционизирова-| ла алгебру. Но, как мы только что сказали, даже этс мощное орудие математической мысли дало до сих по| лишь частные случаи доказательства этой таинственной теоремы.

Риман (1826—186 6). Бернгард Риман, огром| ную интуитивную способность которого мы уже отмеча^ ли, существенно обновил наши знания о распределение простых чисел, также одного из наиболее таинствен* ных вопросов математики². Он научил нас получат^ результаты в этом направлении, пользуясь ме*| тодами интегрального исчисления, точнее, изучая| некоторую величину, являющуюся функцией переменной S, которая может принимать действительные или¹! мнимые значения. Он доказал некоторые важные свойства этой функции, но два или три важных свойства он указал не приводя .доказательства. После смерти Римана в его бумагах нашли запись, в которой говорилось: «Эти свойства С (S) (функции, о которой идет

¹ Такого рода подход в течение двух последних веков использовался наиболее знаменитыми математиками, начиная с Абеля. Все важные результаты, которые можно получить в этом направлении, видимо, получены; эти результаты весьма ограниченны. Академия Наук ежегодно получает несколько работ на эту тему, большинство из которых являются абсурдными, а в некоторых воспроизводятся уже известные результаты, полученные Абелем и другими.

² Эти примеры Ферма и Римана относятся к арифметике. Арифметика, хотя с нее начинают преподавание в младших классах школы, оказывается одной из самых трудных (если не самой труд-нон) из математических наук, когда пытаются в нее углубиться. Существенные результаты в арифметике получают обычно тогда, когда арифметические вопросы сводят к высшей алгебре и к анализу бесконечно малых.

(Арифметика у французских и немецких авторов часто приме няется как синоним теории чисел. — Прим. ред.).

ПО

<>ечъ) выводятся из одного-из ее выражений, которое я не сумел достаточно упростить, чтобы опубликовать».

Мы и сейчас не имеем ни малейшего понятия о том, что могло бы представлять собой это выражение! Что же касается свойств, простой формулировкой которых он ограничился, то мне потребовалось десятка три лет, чтобы я смог их доказать — все, кроме одного. Что касается этого последнего свойства, то оно до сих пор остается недоказанным, хотя благодаря огромной работе, проделанной за последние полвека, получено несколько очень интересных результатов в этом направлении. Кажется все более и более вероятным — но еще никоим образом не достоверным — что гипотеза Рима-па верна. Естественно, все эти дополнения к трудам Римана могли быть сделаны лишь благодаря фактам, которые в его время были абсолютно неизвестны; что же касается одного из свойств, которое он сформулировал, то почти невозможно понять, как он мог его открыть, не используя частично этих общих принципов, хотя он не упоминает о них в своем мемуаре¹.

Галуа (1811 — 183 1). Одной из наиболее поразительных была личность Эвариста Галуа, чья трагическая жизнь, оборвавшаяся в ранней юности, дала науке один из наиболее важных памятников, которые мы знаем. Страстная натура Галуа была покорена математикой с тех пор, как он познакомился с «Геометрией» Лежандра. Но им неистово владело другое чувство, чувство восторженной преданности республиканским и освободительным идеям, за которые он страстно и порою весьма неосторожно боролся. Однако! смерть настигла его в возрасте двадцати лет, не в ходе: этой борьбы, а на бессмысленной дуэли ².

Галуа провел ночь перед дуэлью, проверяя заметки-о своих открытиях. Это были: рукопись, которую откло-

¹ Заметим, что на примере этого открытия Римана вновь можно наблюдать разницу между двумя видами интуиции, которые Пуанкаре считал идентичными. Вообще говоря, Риман обладал интуицией в высшей степени геометрического характера, как это отмечал Пуанкаре, однако в работе о простых числах, где интуиция Римана достигает вершин глубины и таинственности, геометрические элементы не играют существенной роли.

² Есть основания полагать, что дуэль, на которой был убит Галуа, была подстроена полицией.— Прим. ред.

ИИЛа Академия наук как непонятную (не нужно удйЯ ляться, что столь высоко интуитивные умы высказья ваются очень «темно»); затем письмо другу, с короя кими поспешными замечаниями о других прекрасный идеях, с многократным повторением на полях одних ■ тех же слов «У меня нет времени». Действительной оставалось четыре часа до того, как он ушел туда, где его ждала смерть. 1

Все его глубокие идеи были сначала забыты, и лишь' через пятнадцать лет ученые с восхищением обратили внимание на мемуар, который отклонила Академия. В этом мемуаре содержится полное преобразование высшей алгебры, и он проливает яркий свет на то, о чем до тех пор лишь догадывались наиболее крупные математики, одновременно связывая алгебраическую проблему с другими проблемами из совсем иных отраслей науки.

Но в связи с тем, что непосредственно касается нашей темы, рассмотрим отрывок из письма, написанного Галуа его другу, где он формулирует теорему о «периодах» некоторого класса интегралов. Эта теорема, ясная для нас, не могла быть понята учеными, жившими в эпоху Галуа: эти «периоды» не имели смысла при состоянии науки того времени; они приобрели смысл лишь благодаря некоторым принципам теории функций, теперь классическим, но открытым четверть века спустя после смерти Галуа. Итак, нужно допустить: 1) что Галуа должен был каким-то образом составить себе представление об этих принципах; 2) что они должны были остаться для него неосознанными, так как на них у него нет и намека, хотя они сами по себе составляют важное открытие.

Случай Галуа заслуживает внимания в связи с подчеркнутым нами выше различием. С некоторой точки зрения он нам напоминает Эрмита. Как и он, Галуа является глубоким аналитиком, хотя и стал энтузиастом науки благодаря курсу геометрии Лежандра. Один из его первых опытов (когда он еще был на лицейской скамье) носил геометрический характер, но он остался единственным. Любопытная вещь: преподаватель математики в лицее у Галуа, г-н Ришар (заслугой которого является то, что он сразу же открыл необыкно-

венные способности Галуа), через Пятнадцать лет стал преподавателем Эрмита; но это надо рассматривать как простое совпадение, так как очевидно, что гений таких людей является даром природы, независимо ни от какого образования.

С другой стороны, Галуа, который был очевидным представителем интуитивных умов по нашему определению (А), не кажется таковым по определению (Б). В доказательстве общей теоремы, которая содержит окончательное решение основной проблемы алгебры, нет следа «рассеянных идей», нет комбинаций разнородных по внешности принципов; его мысль, так сказать, интенсивна, но не экстенсивна. И я склоняюсь к тому, чтобы это же сказать об открытиях, содержащихся в его последнем письме (написанном в ночь перед его роковой дуэлью), хотя течение его мыслей не могло проявиться так же отчетливо в этой серии лишь кратко высказанных результатов. Это не исключает возможности случайной связи между аспектами (А) и (Б) интуиции; но в случае Галуа эти аспекты кажутся независимыми друг от друга.

Вместе с тем ясно, что Галуа глубоко отличается от Эрмита, чье открытие квадратичных форм — типичный пример «мышления около».

Случай в работе Пуанкаре. Кажется, никто не заметил, что нечто аналогичное есть в труде Пуанкаре «Новые методы небесной механики». В III томе (стр. 261) он говорит о вариационном исчислении и использует достаточное условие для минимума, эквивалентное условию, вытекающему из метода Вейерштрасса (о котором мы говорили на стр. 105). Но он не дает доказательства этого условия: он говорит о нем как об известном факте. Как мы указывали, метод Вейерштрасса не был опубликован к моменту, когда был написан этот том «Новых методов». Более того, у Пуанкаре нет никакого намека на открытие Вейерштрасса, что он должен был сделать, если бы получил частным образом хоть какие-либо сведения. И особо нужно прибавить, что условие высказано в форме, несколько отличной (хотя в основном эквивалентной) от той, которая классическим образом вытекает из метода Вейерштрасса. Должны ли мы считать,

8—1467 113

что рассуждение Вейерштрасса — или другое, ему ана-< логичное — было открыто Пуанкаре, но осталось совершенно им не осознанным? ' |

Исторические сравнения

В подобных случаях приходится признать, что некоторые части умственного процесса развиваются в столь глубоких слоях бессознательного, что остаются скрытыми от нашего сознания элементы, которые могут быть даже очень важными. Здесь мы вновь подходим к явлению раздвоения личности в том смысле, как его рассматривали психологи XIX века.

История дает нам даже примеры как бы посредников между этими двумя типами явлений. Сократ был уверен, что его идеи были ему продиктованы его личным демоном, и Нума Помпилнй часто консультировался у нимфы по имени Эгерия.

Видимо, можно говорить об аналогичном примере и из области математики. Кардано был не только изобретателем знаменитого «карданова подвеса», но он основательно преобразовал математику изобретением мнимых чисел. Напомним, что такое мнимая величина: алгебраические правила показывают, что квадрат всякого числа, положительного или отрицательного, есть число положительное; следовательно, говорить о квадратном корне из отрицательного числа является просто абсурдом. Кардано сознательно допускает такой абсурд'

¹ Случай покажется еще более странным, если заметить, что на той же 216 странице третьего тома, всего несколькими строками выше, Пуанкаре пишет: «Это исследование связано с трудным вопросом о второй вариации».

Однако в теории Вейерштрасса, т. е. в нашем современном вариационном исчислении, нет вопроса о второй вариации — она совершенно не используется.

Таким образом, на этой странице «Новых методов» получилось любопытное противоречие. Упоминание о «второй вариации» сделано человеком, который представления не имеет о новой теории. С другой стороны, Пуанкаре, показал, что он ее вполне себе представлял, когда формулировал свое условие (А) (такую форму он придал условию Вейерштрасса). Однако до появления новой теории никто не думал о вещах такого рода: знали лишь классическое, но ие столь адекватное «условие Лежандра».

Следует ли сделать заключение, что Пуанкаре испытал своего рода раздвоение личности?

н приступает к действиям над этими «мнимыми» числами.

Всякий объявил бы это чистым безумием, и тем не менее все развитие алгебры и анализа было бы невозможным без этого отправного положения, которое, естественно, получило в XIX в. твердое и строгое обоснование. С тех пор стало возможным утверждать, что наиболее короткий и наилучший путь между двумя истинами в действительной области часто проходит через мнимую область.

Мы упоминаем о Кардано одновремено с Сократом и Нумой Помпилием, так как некоторые из его биографов сообщают, что были и в его жизни периоды, когда таинственный голос что-то внушал ему. Но свидетельства на этот счет не лишены противоречий.

8*

ГЛАВА IX

Прежде чем попытаться что-либо открыть или попробовать решить определенную задачу, ставится следующий вопрос: что мы будем пытаться открыть? Какую… Две концепции изобретения В своем (уже упомянутом) вступительном слове на коллоквиуме в Центре синтеза Клапаред заметил, что, существует два…

Renan „L'Avenir de la Science", p. 115. (см. рус. перевод: Эрнест Penan,«Будущее пауки», т. 1—2, Киев. нзл. К Б Фукс. 190Щ

J18 1

отвуем, что вопрос сам по себе заслуживает внимания и что его решение будет иметь некоторую ценность для науки независимо от того, будет ли оно или не будет иметь в будущем приложение. Каждый волен называть это чувством красоты или нет. Бесспорно, это то, о чем думали греческие геометры, изучая эллипс, так как они не могли думать ни о чем другом.

Что касается приложений, даже совершенно непредвиденных, то в дальнейшем они чаще всего появляются, если наше начальное чувство было верным. Я приведу несколько личных примеров, но прошу извинить это неоднократное обращение к моему личному опыту, о котором я, естественно, осведомлен лучше всего.

Когда я представил мою докторскую диссертацию на рассмотрение Эрмиту, он заметил, что было бы очень полезно найти приложения. В тот момент я не знал ни одного возможного приложения. Но в промежутке между днем, когда я подал рукопись, и днем, когда я защищал диссертацию, я узнал, что французский институт предложил в качестве конкурсной темы решить одну важную проблему (ту, о которой мы говорили на стр. 111 i связи с Риманом); и оказалось, что результаты моей диссертации дают решение этого вопроса. Я руководствовался лишь чувством интереса к проблеме, и оно меня вывело на правильный путь.

Несколькими годами позднее, снова занимаясь этими же вопросами, я получил один очень простой результат', который мне показался элегантным; я его сообщил мо-му другу, физику Дюгему; он меня спросил, каковы применения этого результата. Когда я ответил, что до их пор не думал над этим, Дюгем, который был не только выдающимся физиком, но и замечательным художником, сравнил меня с живописцем, который начал рисовать пейзаж не выходя из мастерской, и который •атем идет на прогулку, чтобы открыть в природе пей->аж, соответствующий его картине. Это сравнение покаялось мне верным, но в действительности я был прав, не заботясь о приложениях: они пришли позднее.

За несколько лет до этого (в 1893 г.) меня заинтере-i овал один алгебраический вопрос (об определителях), ^ешая его, я не подозревал, что он может быть как-то

¹ Для специалистов: это была «теорема композиции».

полезен, и удовлетворился лишь чувством, что заслуживает интереса; а в 1900 г. появилась теори| Фредгольма', для которой, как оказалось, результат полученный в 1893 г., был существенен.

Чрезвычайно удивительные, я бы даже сказал ош^ ломляющие, факты такого рода дает нам поразительно! развитие современной физики. В 1913 г. Эли Карта* один из первых французских математиков, стал размыг. лять в связи с теорией групп об одном замечательно^ классе аналитических и геометрических преобразовав ний. Для специального рассмотрения этих преобразований в ту эпоху не было никакого основания, кроме их эстетических свойств. А через 15 лет физики открыли опытным путем удивительные явления, связанные электронами, и они смогли их понять лишь благодаря идеям Картана 1913 г.

Но нельзя привести более типичный пример в это^ смысле, чем современный функциональный анализ. Koi| да Иоганн Бернулли искал в XVIII в.², какова долж1 быть форма кривой, падая вдоль которой небольшое в| сомое тело проходит расстояние в минимальный пром| жуток времени, он был привлечен красотой этой проблй мы, столь отличной от всего, что рассматривалось до те пор, хотя и представлявшей явную аналогию с проблв мами, которые уже рассматривались в исчислении бе! конечно малых. Им могла руководить лишь эта красота Нельзя было и подозревать в его время, что впоследс^ вии вариационное исчисление — т. е. теория проблем т^ кого вида — поможет усовершенствовать механику конце XVIII и в начале XIX в.

Еще более удивительным оказалась судьба того* обобщения этой первоначальной концепции, которое было развито в конце XIX в., главным образом под мощным влиянием Вольтерра. Почему этот крупный итальянский геометр стал оперировать с функциями так, как

¹ Это тл самая теория, мимо которой я прошел, «ие заметив ее», как я расеказаывал об этом в гл. IV. Утешением для моего самолюбия было лишь то, что я дал звено, оказавшееся необходимым для выводов Фредгольма.

² Небольшая неточность автора: задача о брахистотропе была поставлена и решена Иоганном Бернулли (а т^кже Лейбницем, Ньютоном, Яковом Бернулли и Лопиталем) в конце XVII века.— Прим. ред.

в исчислении бесконечно малых оперируют с числами, т. е. рассматривая функцию как непрерывно меняющийся элемент? Только потому, что он отдавал себе отчет в том, что этот метод должен был гармонично дополнить структуру математического здания, точно так же, как архитектор видит, что здание будет лучше уравновешено, если прибавить к нему одно крыло. Уже тогда можно было представить себе (как мы объясняли в гл. III), что гармоничное творение такого типа может помочь решать такие связанные с функциями проблемы, которые раньше рассматривались лишь с одной точки зрения; но то, что эти «функционалы», как назвали это новое понятие, могут быть непосредственно связаны с действительностью, нельзя было считать ничем иным, как нелепостью. Функционалы казались математическим понятием, существенно и полностью абстрактным.

И вот, произошла именно нелепость: столь мало понятное и трудно постижимое новое понятие, каким оно могло казаться современным физикам, с которым умеют обращаться только студенты, уже свободно владеющие математическим анализом, оказалось абсолютно незаменимым, чтобы математически представить любое физическое явление (согласно недавней теории «волновой механики»). Каждую из доступных наблюдению величин— давление, скорость и т. д., — которую обычно определяли с помощью чисел, нельзя больше рассматривать как число — математически она представляется функционалом!

Эти примеры дают достаточно полный ответ на сомнение, выраженное Уолласом по поводу значения чувства красоты в качестве «двигателя» открытия. Наоборот, создается впечатление, что у нас в математике это чувство является чуть ли не единственным полезным.

Мы еще раз видим, что выбор направления мысли включает в себя эмоциональные элементы, и последнее обязательно имеет место при непрерывности внимания, при той верности ума своей цели, о важности которой мы говорили в гл. IV'.

На этой стадии, как и для вдохновения, выбор руко-

¹ Рассматривая один из вопросов аналлагматической геометрии (см. гл. IV), я недооценил его красоты и не уделил ему в достаточной мере внимания.

9—1467 121

водствуется чувством красоты; но на этот раз мы обр щаемся к нему сознательно, в то время как в облас бессознательного это чувство работает, чтобы дать на вдохновение.

Направление изобретательской работы и стремление к оригинальности

Один психоаналитик с полным основанием указал мне, что на исследовательскую работу часто могут оказывать влияние причины эмоционального характера… Поднимался также вопрос, не могут ли исследователи руководствоваться менее… Мне кажется, что в искусстве или в литературе подобная вещь возможна. Или, точнее, оставляя в стороне вопрос о…

I

7. Какую роль по-вашему играют случай или вдохновение в математических открытиях? Так ли велика эта роль, как кажется?

8. Замечали ли вы когда-нибудь, что открытия или решения вопросов, которыми вы раньше бесплодно занимались, получались у вас внезапно, когда вы уже думали над вопросами совершенно иного характера?

Случалось ли вам вычислять или решать задачи во сне? Являлись ли вам при утреннем пробуждении совершенно готовые решения или открытия либо совершенно неожиданные, либо те, над которыми вы тщетно думали накануне или в предыдущие дни?

9. Считаете ли вы, что ваши основные открытия являлись результатом целенаправленной работы, или они возникали у вас, так сказать, спонтанно?

10. Занимаясь работой, которую вы намерены опубликовать, вы получаете некоторые промежуточные результаты. Формулируете ли вы сразу каждую часть работы? Или, напротив, записывая результаты в виде простых пометок, вы редактируете затем всю работу целиком?

11. Какое значение придаете вы изучению специальной математической литературы? Какой совет дали бы вы по этому поводу молодому математику, имеющему обычное классическое образование?

12. Прежде чем приступить к какому-либо вопросу, стараетесь ли вы сначала изучить работы, посвященные этой же теме?

13. Или, напротив, вы предпочитаете предоставить своему разуму полную свободу и лишь при последующем чтении соответствующей литературы устанавливаете, какая часть полученных вами результатов принадлежит вам?

14. Приступая к какому-нибудь вопросу, пытаетесь ли вы рассматривать поставленные проблемы наиболее общим способом? Или же вы предпочитаете рассматривать сначала частные случаи или случай упрощенный, постепенно их обобщая?

15. Различаете ли вы с методической точки зрения творческую и редакционную работу?

16. Считаете ли вы, что ваш стиль работы после окончания обучения остался по существу тем же самым?

17. В процессе работы над вашими основными исследованиями занимались ли вы непрерывно изучаемым вами вопросом или же прерывали эту работу, возвращаясь к данной теме позднее?

Если вы испробовали оба метода, то какой из них вам кажется лучше?

18. Какое на ваш взгляд минимальное время следует уделять математике в течение дня, недели, года, чтобы, имея и другие каж-

додневные занятия, математик смог бы плодотворно развивать некоторые ее ветви? Считаете ли Вы, что при возможности выбора наилучшим способом являются ежедневные, хотя бы кратковременные занятия, минимум по часу, например?

19а). Какие занятия или развлечения вы предпочитаете помимо изучения математики в часы вашего досуга, каковы ваши основные вкусы?

196). Считаете ли вы, что занятия живописью, литературой, музыкой или поэзией отвлекают от математического творчества, или, по-вашему, наоборот, они ему способствуют, давая отдых мозгу?

19в) Интересуетесь ли вы вопросами метафизического, этического или религиозного характера или, напротив, они вас отталкивают?

20. Если ваша служба занимает основное ваше время, то как вы ее сочетаете с личной научной работой?

21. Какие советы в заключение вы дадите:

а) молодому человеку, получающему математическое образование;

б) молодому математику, окончившему обычное обучение и желающему заниматься научной работой?

Вопросы, касающиеся образа жизни математика

22. Считаете ли вы полезным для математика придерживаться некоторого режима: диеты, определенных часов приема пищи, соблюдения интервалов?

23. Какую ежедневную продолжительность сна вы считаете нормальной?

24. Считаете ли вы, что занятия математикой в течение дня должны прерываться другими занятиями или физическими упражнениями, соответствующими возрасту и силам каждого?

25а). Считаете ли вы, напротив, что лучше сидеть за своей работой целый день, не отвлекаясь ничем, а последующие дни полностью отдыхать?

256). Бывают ли у вас периоды особенного увлечения работой и возбуждения, сменяющиеся затем периодами депрессии и неспособности работать?

25в), Замечали ли вы регулярность в смене таких периодов, и если да, то сколько дней продолжается у вас фаза активности и сколько — фаза инертности?

25г), Оказывают ли ощутимое влияние на вашу работоспособность окружающие вас физические и метеорологические условия (температура, свет и темнота, время года и т, д.)?

26. Какие физические упражнения вы делаете или делали для отвлечения от умственной работы? Какие из них вы предпочитаете?

27. Утром или вечером вы предпочитаете работать?

28. Используете ли вы время отпуска, если вы его берете, для занятий математикой (и в какой степени), или вы целиком посвящаете отпуск развлечениям и отдыху?

Заключительные замечания

Имеется, конечно, множество других деталей, которые было бы полезно выяснить с помощью анкеты: •

29а). Стоя, сидя или лежа легче работать?

б) пользуясь черной доской или бумагой?

в) в какой степени оказывает влияние внешний шум?

г) можно ли продолжать думать над проблемой во время прогулки, во время поездки по железной дороге?

д) влияние возбуждающих и успокаивающих средств: табака, кофе, алкоголя и т. д.— на количество и качество работы.

30. Было бы интересно, с психологической точки зрения, узнать, какого рода «внутренний язык» используют математики, являются ли их внутренние образы двигательными, слуховыми, визуальными или смешанными в зависимости от темы.

Если кто-нибудь, близко знавший одного из умерших математиков, мог бы сообщить некоторые сведения, отвечающие на часть вышеназванных вопросов, мы бы попросили их сделать это. Этим они бы внесли важный и полезный вклад в историю математики и ее развитие.

Добавление автора

Последний, 30-й вопрос имеет отношение к нашей дискуссии в гл. VI, и было бы особенно важно получить ответы по этому поводу. Эти ответы должны быть двух видов, относящихся соответственно к обычной мысли и к мысли исследовательской. Более того, было бы полезным прибавить к 30-му вопросу еще следующие:

31а). Присутствуют ли в процессе изобретения мысленные образы или слова, в сознании или в краевом сознании (в том смысле,

в каком оно было определено в книге Уолласа «Art of Thought»,

или под названием «Прихожая сознания» в книге Гальтопа «Inquiries into Human Faculty, стр. 203, издание 1883 г., и стр. 146, издание 1910 г.)?

316). Тот же вопрос относительно того, что эти представления или мысленные слова могут символизировать?¹

¹ Лишь несколько математиков ответили на вопросы (31а) и (316), в частности в связи с топологическими аргументами типа доказательства теоремы Жордаиа (см. гл. VII стр. 98). У всех без исключения геометрический аспект рассуждения является вполне сознательным. Один или двое из них чувствуют сразу же возможность выразить в аналитической форме любое звено этого рассуждения и даже способны немедленно найти этот перевод на аналитический язык (так что аналитическая форма доказательства должна находиться в краевом сознании); другим нужно приложить для этого большее или меньшее усилие.

Приложение II

ДРУГОЕ РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ УМАМИ: ВЗГЛЯД НА ОСНОВУ МОРАЛИ

В гл. VI мы установили существование двух различных видов умов: у представителей одного из них (например, у Макса Мюллера) мысль обязательно сопровождается словами, у представителей же другого вида (таких, как Гальтон) этот внутренний язык не является необходимым атрибутом мышления. Эти две категории людей оказались настолько взаимоисключающими, что , существование одной из них является для другой явлением трудно объяснимым.

Однако этот случай не является единственным, когда я мог заметить подобное разделение: оно существует и по поводу одного из самых основных,—если не самого основного—вопросов психической жизни человека, а именно, по вопросу об основе морали.

Впервые я обратил на это внимание во время бесед, которые я вел в Бордо с крупным философом Эмилем Дюркхеймом: он считал, что мораль может ri должна базироваться на научной основе. Я же считаю, что одна лишь научная основа не является достаточной для построения морали — мнеиие, которое Дюркхейм встретил фразой вроде следующей: «Вы увидите, он еще наговорит глупостей».

Тогда я не уделил этому мнению того внимания, которого оно заслуживало, но оно вновь проявилось в связи с моей статьей, посвященной моральной роли науки и идеям, высказанным по этому поводу нашим знаменитым Анри Пуанкаре. Эту статью я послал в один из журналов. Подчеркивая важную моральную роль науки для формирования и развития того высокого качества, которое называют научной честностью, Пуанкаре, тем не менее, отказался считать науку единственной основой морали, говоря, что в действительности речь идет о двух различных логических областях, о двух видах предложений, из которых одни формулируются в изъявительном наклонении, а другие — в повелительном. И Пуанкаре считал невозможным, исходя из того, что есть, и извлекая из этого все возможные следствия, объявлять то, что должно быть (т. е. то, что философы нашей эпохи называют «нормативными» предложениями).

«Желание вывести из посылок в изъявительном наклонении за* ключения в повелительном наклонении является принципиально] абсурдным», — заявил Пуанкаре.

Итак, когда я послал в журнал упомянутую выше статью, где| я рассматривал эти идеи Пуанкаре, представитель редакции жур-| нала попросил меня устранить как «катастрофическое» место, касающееся этого принципиального положения. Он объяснил, что редакция считает, «в противоположность мнению Пуанкаре, что отношения между наукой и моралью не могут содержать коренных разногласий. Если верно то, что наука изучает реальные факты, а мораль.; диктует правила поведения, то эти правила могут быть применимы'; лишь в том случае, когда они основаны на изучении человечества,-' т. е. базируются на психологических и социальных науках. Мораль^ подобна медицине, целью которой является осуществить идеальное] здоровье людей, но эта цель может быть достигнута лишь благодаря науке. Поскольку мораль ведет к идеалу человеческого существования, только психология и социология могут дать средства'¹; для реализации этого идеала».

Я считаю первую часть этой последней фразы единственным! нормативным элементом, и именно с этим связано принципиальное! положение Пуанкаре, Это положение представляется абсурдныл тем, кто воспринимает последнюю фразу как единое целое, не раз-! личая двух элементов, ее составляющих. Оно кажется неизбежныи тем, кто проводит такое различие.

Таким образом, мы находимся в ситуации, совершенно подоб-: ной той, которая возникает в связи с вопросом об употреблении слой в процессе мышления; перед нами две категории умов, из которых одна отрицает то, что кажется очевидным для другой, и каждая считает другую безрассудной и взирает на нее с сожалением.

Кант ввел в философию понятие «априори» для обозначения того, что предшествует эксперименту и обусловливает его. Такая система априорных понятий лежит в основе всех тех идей, которыми мы обмениваемся между собой. Но надо, чтобы эти априорные понятия были общими для всех. Обычно так оно и бывает (без чего, очевидно, не существовало бы человеческого разума). Однако мы видим, что указанный принцип допускает по крайней мере одно исключение.

П рил ожение III'

А. Пуанкаре. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО

Генезис математического творчества является проблемой, которая должна вызывать живейший интерес у психолога, Кажется, что в этом процессе человеческий ум меньше всего заимствует из внешнего мира и действует, или только кажется действующим, лишь сам по себе и сам над собой. Поэтому, изучая процесс математической мысли, мы можем надеяться постичь нечто самое существенное в человеческом сознании.

Это было понято уже давно, и несколько месяцев назад журнал «Математическое образование», издаваемый Лезаном и Фэром, опубликовал вопросник, касающийся умственных привычек и методов работы различных математиков. К тому моменту, когда были опубликованы результаты этого опроса, мой доклад был в основном уже подготовлен, так что я практически не мог ими воспользоваться. Отмечу лишь, что большинство ответов подтвердило мои заключения; я не говорю об единогласии, так как при всеобщем опросе на него и нельзя надеяться.

Первый факт, который должен нас удивлять, или, вернее, должен был бы удивлять, если бы к нему не привыкли, следующий: как получается, что существуют люди, не понимающие математики? Если математики используют лишь логические правила, которые принимаются всеми разумными людьми; если математика основана на принципах, которые являются общими для всех людей и которые никто, не будучи сумасшедшим, не станет отрицать, то как получается, что есть люди, совершенно не приемлющие математики?

Тот факт, что не все способны на открытие, не содержит ничего таинственного. Можно понять еще и то, что не все могут запомнить доказательство, которое когда-то узнали. Но то обстоятельство, что не всякий человек может понять математическое рассуждение, когда ему его излагают, кажется совершенно удивительным. И тем не менее людей, которые лишь с большим трудом воспринимают эти рассуждения, большинство; это неоспоримо, и опыт учителя средней школы подтверждает это.

И далее, как возможна ошибка в математике? Нормальный разум не должен совершать логической ошибки, и тем не менее есть очень тонкие умы, которые не ошибутся в коротком рассуждении,

¹ Добавлено в настоящем издании. — Прим. ред.

M

подобном тем, с которыми ему приходится сталкиваться в обыденной жизни и которые не способны провести или повторить без ошибки более длиньые математические доказательства, хотя в конечном счете последние являются совокупностью маленьких рассуждений, совершенно аналогичных тем, которые эти люди проводят так легко. Нужно ли прибавить, что и сами хорошие математики не являются непогрешимыми?

Ответ, как мне кажется, напрашивается сам собой. Представим себе длинный ряд силлогизмов, у которых заключения первых служат посылками следующих; мы способны уловить каждый из этих силлогизмов и в переходах от посылки к рассуждению мы не рискуем ошибиться. Но иной раз проходит много времени между моментом, когда некоторое предложение мы встречаем в качестве заключения силлогизма, й| моментом, когда мы вновь с ним встре-< тимся в качестве посылки другого силлогизма, когда много звеньев в цепи рассуждений, и может случиться, что предложение забыто или, что более серьезно, забыт его смысл. Таким образом, может случиться, что предложение заменяют другим, несколько от него отличным, или что его применяют в несколько ином смысле, и это приводит к ошибке.

Если математик должен воспользоваться некоторым правилом, естественно, он сначала его доказывает и в момент, когда это доказательство свежо в его памяти, он прекрасно понимает его смысл и пределы применения и поэтому не рискует его исказить. Но затем, доверяя своей памяти, он применяет его механически, и если память его подведет, то правило может быть применено неверно. В качестве простого и почти вульгарного примера можно привести тот факт, что мы часто ошибаемся в вычислении, так как забыли таблицу умножения.

С этой точки зрения математические способности должны были бы сводиться к очень надежной памяти или к безупречному вниманию. Это качество подобно способности игрока в вист запоминать сброшенные карты; или—на более высоком уровне—способности шахматиста, который должен рассмотреть большое число комбинаций и все их держать в памяти. Каждый хороший математик должен был бы быть одновременно хорошим шахматистом и обратно; точно так же он должен бы быть хорошим вычислителем. Действительно, так иногда случается и, например, Гаусс был одновременно гениальным геометром и рано проявившим себя очень хорошим вычислителем.

Но есть исключения, хотя я, пожалуй, не прав, называя это исключениями, так как иначе исключения оказались бы более многочисленными, чем правила. Напротив, это Гаусс был исключением.^lL

Что касается меня, то я вынужден признать свою совершенную неспособность выполнить сложение без ошибки. Я был бы также очень плохим шахматистом; я мог бы хорошо рассчитать, что, совершив такой-то ход, я подвергся бы такой-то опасности; я рассмотрел бы много других ходов, которые я отбросил бы по другим причинам, и кончил бы тем, что совершил бы рассмотренный ход, забыв между делом об опасности, которую я раньше предвидел.

Одним словом, у меня неплохая память, но она недостаточна, чтобы сделать меня хорошим шахматистом. Почему же она меня не подводит в трудном математическом рассуждении? Это, очевидно, потому, что она руководствуется общей линией рассуждения. Математическое рассуждение не есть простая совокупность силлогизмов; это силлогизмы, помещенные в определенном порядке, и порядок, в котором эти элементы расположены, гораздо более важен, чем сами элементы. Если я чувствую этот порядок, так что вижу все рассуждение в целом, то мне не страшно забыть один из элементов: каждый из них встанет на место, которое ему приготовлено, причем без всякого усилия со стороны памяти. Когда я изучаю некоторое утверждение, мне кажется, что я мог бы сам его открыть, или, вернее, если это иллюзия и я недостаточно силен, чтобы открыть его, я переоткрываю его во время изучения.

Отсюда можно сделать вывод, что это интуитивное чувство математического порядка, которое позволяет нам угадать гармонию и скрытые соотношения, доступно не всем людям. Одни не способны к этому деликатному и трудному для определения чувству и не обладают памятью и вниманием сверх обычных; и они совершенно неспособны понимать серьезную математику; таковых большинство. Другие обладают этим чувством в малой степени, но они имеют хорошую память и способны на глубокое внимание. Они запомнят наизусть детали одну за другой, они смогут понять математику и иногда ее применять, но они неспособны творить. Наконец третьи в большей или меньшей степени обладают той специальной интуицией, о которой я говорил, и оии могут не только понимать математику, но и творить в ней и пытаться делать открытия с большим или меньшим успехом в зависимости от степени развития этой интуиции, несмотря на то, что их память не представляет собой ничего особенного.

Что же такое в действительности изобретение в математике? Оно состоит не в том, чтобы создавать новые комбинации из уже известных математических фактов. Это мог бы делать любой, но таких комбинаций было бы конечное число, и абсолютное большинство из них не представляло бы никакого интереса. Творить это означает не создавать бесполезных комбинаций, а создавать полез-

10-1467 137

ные, которых ничтожное меньшинство. Творить — это уметь распознавать, уметь выбирать.

Как делать этот выбор, я объяснял в другом месте: математические факты, которые заслуживают того, чтобы быть изученными,— это такие, которые по своей аналогии с другими фактами могут нас подвести к познанию математического закона, подобно тому, как экспериментальные факты подводят нас к познанию физического закона. Это такие факты, которые открывают нам связь между другими законами, известными уже давно, но ошибочно считавшимися не связанными друг с другом.

Среди выбранных комбинаций наиболее плодотворными часто оказываются те, которые составлены из элементов, взятых из очень далеких друг от друга областей. Я не хочу сказать, что для того, чтобы сделать открытие, достаточно сопоставить как можно более разношерстные факты; большинство комбинаций, образованных таким образом, было бы совершенно бесполезным, но зато некоторые из них, хотя и очень редко, бывают наиболее плодотворными из всех.

Я уже говорил, что изобретение — это выбор; впрочем, это слово, может быть, подобрано не совсем точно, — здесь приходит в голову сравнение с покупателем, которому предлагают большое количество образцов товаров, и он исследует их один за другим, чтобы сделать свой выбор. В математике образцы столь многочисленны, что всей жизни не хватит, чтобы их исследовать. Выбор происходит не таким образом. Бесплодные комбинации даже не придут в голову изобретателю. В поле зрения его сознания попадают лишь действительно полезные комбинации и некоторые другие, имеющие признаки полезных, которые он затем отбросит.

Все происходит так, как если бы ученый был экзаменатором второго тура, который должен экзаменовать лишь кандидатов, успешно прошедших испытания в первом туре. Но все то, что я до сих пор говорил, можно заметить или заключить, лишь достаточно вдумчиво вчитываясь в труды по математике.

Настало время продвинуться немного вперед и посмотреть, что же происходит в самой душе математика. Я полагаю, что лучшее, что можно для этого сделать, это привести собственные воспоминания. Я припомню и расскажу вам, как я написал первую свою работу об автоморфных функциях. Я прошу прощения за то, что буду вынужден употреблять специальные термины, но это не должно вас пугать, так как вам их понимать совсем необязательно. Я, например, скажу, что при таких-то обстоятельствах нашел | доказательство такой-то теоремы; эта теорема получит варварское I

138 J

название, которое многие из вас не поймут, но это не важно: для психолога важна не теорема, а обстоятельства.

В течение двух недель я пытался доказать, что не может существовать никакой функции, аналогичной той, которую я назвал впоследствии автоморфной. Я был, однако, совершенно неправ; каждый день я садился за рабочий стол, проводил за ним час или два, исследуя большое число комбинаций, и не приходил ни к какому результату.

Однажды вечером, вопреки своей привычке, я выпил черного кофе; я не мог заснуть; идеи теснились, я чувствовал, как они сталкиваются, пока две из них не соединились, чтобы образовать устойчивую комбинацию. К утру я установил существование одного класса этих функций, который соответствует гипергеометрическому ряду; мне оставалось лишь записать результаты, что заняло только несколько часов. Я хотел представить эти функции в виде отношения двух рядов и эта идея была совершенно сознательной и обдуманной; мной руководила аналогия с эллиптическими функциями. Я спрашивал себя, какими свойствами должны обладать эти ряды, если они существуют, и мне без труда удалось построить эти ряды, которые я назвал тета-автоморфными.

В этот момент я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической экскурсии, организованной Горной школой. Перипетии этого путешествия заставили меня забыть о моей работе. Прибыв в Кутанс, мы сели в омнибус для какой-то прогулки; в момент, когда я встал на подножку, мне пришла в голову идея, без всяких, казалось бы, предшествовавших раздумий с моей стороны, идея о том, что преобразования, которые я использовал, чтобы определить автоморфные функции, были тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии. Из-за отсутствия времени я не сделал проверки, так как, с трудом сев в омнибус, я тотчас же продолжил начатый разговор, но я уже имел полную уверенность в правильности сделанного открытия, По возвращении в Кан я на свежую голову и для очистки совести проверил найденный результат.

В то время я занялся изучением некоторых вопросов теории чисел, не получая при этом никаких существенных результатов и не подозревая, что это может иметь малейшее отношение к прежним исследованиям. Разочарованный своими неудачами, я поехал провести несколько дней на берегу моря и думал совсем о другой вещи. Однажды, когда я прогуливался по берегу, мне так же внезапно, быстро и с той же мгновенной уверенностью пришла на ум мысль, что арифметические преобразования квадратичных форм тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии.

10* 139

Возвратившись в Кан, я думал над этим результатам, извле. кая из него следствия; пример квадратичных форм мне показал что существуют автоморфные группы, отличные от тех, которые соответствуют гипергеометрическому ряду; я увидел, что могу _к ним применить теорию тета-автоморфных функций н что, следовательно, существуют автоморфные функции, отличающиеся от тех, которые соответствуют гипергеометрическому ряду — единственные, которые я знал до тех пор.

Естественно, я захотел построить все эти функции; я предпринял систематическую осаду и успешно брал одно за другим передовые укрепления. Оставалось, однако, еще одно, которое держалось и взятие которого означало бы падение всей крепости. Однако, сперва ценой всех моих усилий я добился лишь того, что лучше понял, в чем состоит трудность проблемы, и это уже кое-что значило. Вся эта работа была совершенно сознательной.

Затем я переехал в Мон-Валерьян, где я должен был продолжать военную службу. Таким образом, занятия у меня были весьма разнообразны. Однажды, во время прогулки по бульвару, мне вдруг пришло в голову решение этого трудного вопроса, который меня останавливал. Я не стал пытаться вникать в него немедленно и лишь после окончания службы вновь взялся за проблему. У меня были все элементы и мне оставалось лишь собрать их и привести в порядок. Поэтому я сразу и без всякого труда полностью написал эту работу.

Я ограничусь лишь этим одним примером. Бесполезно их умножать, так как относительно других моих исследований я мог бы рассказать вещи совершенно аналогичные и наблюдения, приводимые другими математиками в ответах на вопросы журнала «Математическое образование», только подтверждает мои¹.

То, что вас удивит прежде всего, это видимость внутреннего озарения, являющаяся результатом длительной неосознанной работы; роль этой бессознательной работы в математическом изобретении мне кажется несомненной и ее следы можно найти и в других случаях, когда это менее очевидно. Часто, когда работают над трудным вопросом, с первого раза не удается ничего хорошего, затем наступает более или менее длительный период отдыха и потом снова принимаются за дело. В течение первого получаса дело вновь не двигается, а затем вдруг нужная идея приходит в голову. Можно было бы сказать, что сознательная работа стала более плодотворной, так как была прервана и отдых вернул уму его силу и свежесть. Но более вероятно предположить, что этот отдых был заполнен бессознательной работой и что результат

¹ См. прим. ред. на стр. 147. ._ 140

I

этой работы внезапно явился математику точно так, как это было в случае, который я рассказывал; только озарение вместо того, чтобы произойти во время прогулки или путешествия происходит во время сознательной работы, но совершенно независимо от этой работы, которая, самое большее, играет роль связующего механизма, переводя результаты, полученные во время отдыха, но оставшиеся неосознанными, в осознанную форму.

Есть еще одно замечание по поводу условий этой бессознательной работы: она возможна или, по крайней мере, плодотворна лишь в том случае, когда ей предшествует и за ней следует сознательная работа. Приведенный мной пример подтверждает в достаточной мере, что эти внезапные вдохновения происходят лишь после нескольких дней сознательных усилий, которые казались абсолютно бесплодными, когда предполагаешь, что не сделано ничего хорошего и когда кажется, что выбран совершенно ошибочный путь. Эти усилия, однако, не являются бесполезными, как эхо думают; они пустили в ход бессознательную машину, без них о*а не пришла бы в действие и ничего бы не произвела.

I Необходимость второго периода сознательной работы после озарения еще более понятна. Нужно использовать результаты этого о|арения, вывести из них непосредственные следствия, привести в поридок, отредактировать доказательство. Но особенно необходимо их проверить. Я вам уже говорил о чувстве абсолютной уверенности, которое сопровождает озарение; в рассказанных случаях оно не было ошибочным и чаще всего так и бывает; но следует опасаться уверенности, что это правило без исключения; часто это чувство нас обманывает, не становясь при этом менее ярким, и заметить это можно лишь при попытке строго сознательно провести доказательство. Особенно я наблюдал такие факты в случае, когда идеи приходят в голову утром или вечером в постели, в полусознательном состоянии.

Таковы факты; рассмотрим теперь выводы, которые отсюда следуют. Как вытекает из предыдущего, или мое «бессознательное я» или, как это называют, мое подсознание, играет основную роль в математическом творчестве. Но обычно рассматривают подсознательные процессы как явления, чисто автоматические. Мы видим, что работа математика не является просто механической и ее нельзя было бы доверить машине, сколь бы совершенной она ни была. Здесь дело не только в том, чтобы применять правила и создавать как можно больше комбинаций по некоторым известным чаконам. Комбинации, полученные таким образом, были бы слишком многочисленными, громоздкими и бесполезными. Истинная работа ученого состоит в выборе этих комбинаций, так чтобы исключить

бесполезные или, вернее, даже не утруждать себя их созданием И правила которыми нужно руководствоваться при этом выборе, предельно деликатны и тонки, их почти невозможно выразить точ-ными словами; они легче чувствуются, чем формулируются; как можно при таких условиях представить себе аппарат, который „_х применяет автоматически?

Отсюда перед нами возникает первый вопрос: «Я - подсозиа-тельное, нисколько не является низшим по отношению к «я-сознательному», оно не является чисто автоматическим, оио способно здраво судить, оно имеет чувство меры и чувствительность, оио умеет выбирать и догадываться. Да что говорить, оно умеет дога-даваться лучше, чем мое сознание, так как преуспевает там, где со-

знание этого не может.

Короче ие стоят ли мои бессознательные процессы выше чем мое сознание? Вы понимаете важность моего вопроса. Э. Бутру ;°м показал в докладе, сделанном здесь же два месяца назад, как этот вопрос возникает при совершенно других обстоятельствах „ какие следствия вытекают из утвердительного ответа. Не вытекает ли такой утвердительный ответ из фактов, которые я только что вам изложил? Я утверждаю, что не могу с этим согласиться. Итак «yeM еще раз факты и посмотрим, не содержат ли они

^ДРУГсо—"что комбинации, приходящие „а ум в виде вне-запиого озарения после достаточно длительной бессознательной работы обычно полезны и глубоки, как будто они прошли уже „ рвТй отбо Значит ли это, что подсознание образовало только и комбинации, интуитивно, догадываясь, что лишь они полезны, или оно образовало и многие другие, которые были лишены „нте-^о^а и питались неосознанными?

^Р Поиэтой второй точке зрения все комбинации формируются

механизмом подсознания, но в поле зрения сознания попадают

лишь представляющие интерес. Но и это еще очень непонятна

Каковы причины того, что среди тысяч результатов деятельности

р л подсознания есть лишь некоторые, которые призваны пере-

„ашего ^{подсознаНИЯ}_о^е _{мя как все П}р_0Ч„е остаются по ту сторо-

Z^b He° пТто и сл/чаГдает им эту привилегию? Конечно пет.

К нр"1еру среди всех ощущений, действующих „а наши органы

/"только самые интенсивные обращают на себя наше вннма-

чувств, только, самы _в11има„„_е не обращено на них по

""'Г пр м ее общем случае среди бессознательных

_Дру им при — в способными стать сознательными,

ГяюГ™^рТпТямо или косвенно наиболее глубоко воз-

действуют на наши чувства.

Может вызвать удивление обращение к чувствам, когда речь идет о математических доказательствах, которые, казалось бы, связаны только с умом. Но это означало бы, что мы забываем о чувстве математической красоты, чувстве гармонии чисел и форм, геометрической выразительности. Это настоящее эстетическое чувство, знакомое всем настоящим математикам. Воистину, здесь налицо чувство!

Но каковы математические характеристики, которым мы приписываем свойства красоты и изящества и которые способны возбудить в нас своего рода эстетическое чувство? Это те, элементы которые гармонически расположены таким образом, что ум без усилия может их охватывать целиком, угадывая детали. Эта гармония служит одновременно удовлетворением наших эстетических чувств и помощью для ума, она его поддерживает и ею он руководствуется. Эта гармония дает нам возможность предчувствовать математический закон. Итак, как это было сказано выше, единственными фактами, способными обратить на себя наше внимание и быть полезными, являются те, которые подводят нас к познанию математического закона. Таким образом, мы приходим к следующему выводу: полезные комбинации это в точности наиболее красивые, т. е. те, которые больше всего воздействуют на это специальное чувство математичекой красоты, известное всем математикам и недоступное профанам до такой степени, что они часто склонны смеяться над ним.

Что же, таким образом, происходит? Среди многочисленных комбинаций, образованных нашим подсознанием, большинство безынтересно п бесполезно, но потому оии и не способны подействовать на наше эстетическое чувство; оии никогда не будут нами осознаны; только некоторые являются гармоничными и потому одновременно красивыми и полезными; они способны возбудить нашу специальную геометрическую интуицию, которая привлечет к ним наше внимание и таким образом даст им возможность стать осознанными.

Это только гипотеза, но есть наблюдение, которое ее подтверждает: внезапное озарение, происходящее в уме математика, почти никогда его не обманывает, но иногда случается, что оно не выдерживает проверки, и тем не менее почти всегда замечают, что если бы эта ложная идея оказалась верной, то она удовлетворила бы наше естественное чувство математического изящества.

Таким образом, это специальное эстетическое чувство играет роль решета, и этим объясняется, почему тот, кто лишен его, никогда не станет настоящим изобретателем.

ИЗ

Однако, преодолены не все трудности; ясно, что пределы сознания очень узки, а что касается подсознания, то его пределов мы не знаем и потому не слишком возражаем против предположе ния, что оно может образовать в короткое время столько комби-наций, сколько сознательное существо не смогло бы рассмотреть за всю жизнь. Эти пределы тем не менее существуют, ио правдоподобно предположить, что подсознание могло бы образовать все возможные комбинации, число которых испугало бы воображение и это кажется и необходимым, так как если бы оно образовывало их мало и делало бы это случайным образом, то маловероятно чтобы «хорошая» комбинация, которую надо выбрать, находилась среди них.

Для объяснения надо учесть первоначальный период сознательной работы, который предшествует плодотворной бессознательной работе. Прошу извинить меня за следующее грубое сравнение. Представим себе будущие элементы наших комбинаций как что-то похожее на атомы — крючочки Эпикура. Во время полного отдыха мозга эти атомы неподвижны, они как будто прикреплены к стене; этот полный отдых может продолжаться неопределенное время, атомы при этом не встречаются и, следовательно, никакое их сочетание не может осуществиться. Во время же кажущегося отдыха и-бессознательной работы некоторые из них оказываются отделенными от стены и приведенными в движение. Они перемещаются во всех направлениях пространства, вернее,— помещения, где оии заперты, так же, как туча мошек или, если вы предпочитаете более ученое сравнение, как газовые молекулы в кинетической теории газов. При взаимном столкновении могут появиться новые комбинации.

Какова же роль первоначальной сознательной работы? Она состоит, очевидно, в том, чтобы мобилизовать некоторые атомы, отделить их от стены и привести в движение. Считают, что не сделано ничего хорошего, так как эти элементы передвигали тысячами разных способов с целью иайти возможность их сочетать, а удовлетворительной комбинации найти не удалось. Но после того импульса, который им был сообщен по нашей воле, атомы больше не возвращаются в свое первоначальное неподвижное состояние. Они свободно продолжают свой танец.

Но наша воля выбирала их не случайным образом, цель была вполне определена; выбранные атомы были не первые попавшиеся, а те, от которых разумно ожидать искомого решения. Атомы, приведенные в движение, начинают испытывать соударения и, следовательно, образовывать сочетания друг с другом или с теми атомами, которые ранее были неподвижны и были задеты при их движении. Я еще раз прошу у вас извинения за грубость сравн?-

 

пня, но я не знаю другого способа, для того чтобы объяснить свою мысль.

Как бы то ни было, у созданных комбинаций хотя бы одним

из элементов служит атом, выбранный по нашей воле. И очевидно,

что среди них находятся те комбинации, которые я только что

назвал «хорошими». Может быть, в этом содержится возможность

• уменьшить парадоксальность первоначальной гипотезы.

Другое наблюдение. Никогда не бывает, чтобы результатом бессознательной работы было полностью проведенное и достаточно длинное вычисление, даже если его правила заранее установлены. Казалось бы, подсознание должно быть особенно расположено к совершенно механической работе. Если, например, вечером подумать о сомножителях, то можно было бы надеяться, что при пробуждении будешь знать произведение или что алгебраическое вычисление, например проверка, могло бы производиться бессознательно. Но опыт опровергает это предположение. Единственное, что получаешь при озарении, являющимся результатом бессознательной работы, это отправные точки для подобных вычислений; что касается самих вычислений, то их надо производить во время второго периода сознательной работы, следующего за озарением; тогда проверяют результаты и выводят из них следствия. Правила вычислений строги и сложны, они требуют дисциплины, внимания и воли и, следовательно, сознания. В подсознании же царит, напротив, то, что я называю свободой, если можно назвать этим словом простое отсутствие дисциплины и беспорядок, рожденный случаем. Но только этот беспорядок рождает неожиданные комбинации.

Я сделаю последнее замечание; когда я выше излагал вам некоторые личные наблюдения, я говорил о бессонной ночи, во время которой я работал как бы против своей волн; такие случаи часты и необязательно, чтобы причиной такой ненормальной мозговой активности было физическое возбуждение, как было вслучае, о котором я говорил. Кажется, что в этих случаях присутствуешь при своей собственной бессознательной работе, которая стала частично ощутимой для сверхвозбуждеиного сознания и которая не изменила из-за этого своей природы. При этом начинаешь смутно различать два механизма или, если угодно, два метода работы этих двух «я». И психологические наблюдения, которые я мог при этом сделать, как мне кажется, подтверждают в основных чертах те взгляды, которые я вам здесь изложил.

Эти взгляды несомненно нуждаются в проверке, так как несмотря ни на что остаются гипотетичными; вопрос, однако, столь ^интересен, что я ие раскаиваюсь в том, что изложил их вам.

Примечания редактора

[1], к стр. 19. — Для читателя будет небезынтересно познаю] миться с этими высказываниями Гельмгольца. В своей речи пр| получении медали имени знаменитого окулиста Грефе Гельмгольц сказал следующее:

«Я могу сравнить себя с путником, который предпринял восхождение на гору, не зная дороги; долго и с трудом взбирается он, часто вынужден возвращаться назад, ибо дальше нет прохода. То размышление, то случай открывают ему новые тропинки, они ведут его несколько далее, и, наконец, когда цель достигнута, он, к своему стыду, находит широкую дорогу, по которой мог бы подняться, если бы умел верно отыскать начало. В своих статьях я, конечно, ие за нимал читателя рассказом о таких блужданиях, описывая только то| проторенный путь, по которому он может теперь без труда взойт! на вершину... Признаюсь, как предмет работы, мне всегда был! приятнее те области, где ие имеешь надобности рассчитывать и| помощь случая или счастливой мысли.

Но, попадая довольно часто в такое неприятное положение! когда приходится ждать таких проблесков, я приобрел иекоторы! опыт насчет того, когда и где они мие являлись, — опыт, которьп) может пригодиться другим.

Эти счастливые наития нередко вторгаются в голову так тихс что не сразу заметишь их значение, иной раз только случайности укажет впоследствии, когда и при каких обстоятельствах они про! ходили: появляется мысль в голове, а откуда она — ие знаешь сам!

Но в других случаях мысль осеняет иас внезапно, без усилия| как вдохновение.

Насколько могу судить по личному опыту, она никогда Hd рождается в усталом мозгу и никогда за письменным столом. Каж! дый раз мне приходилось сперва всячески переворачивать мою за-1 дачу на все лады, так, что все ее изгибы и сплетения залегли проч-1 но в голове и могли быть снова пройдены наизусть, без помощи письма.

Дойти до этого обычно невозможно без долгой продолжитель-| ной работы. Затем, когда прошло наступившее утомление, требо-1 вался часок полной телесной свежести и чувства спокойного благо-|

|состояния — и только тогда приходили хорошие идеи. Часто... они шлялись утром, при пробуждении, как замечал и Гаусс.

Особенно охотно приходили они... в часы неторопливого подъе-

| ма по лесистым горам, в солнечный день. Малейшее количество спиртного напитка как бы отпугивало их прочь» '.

[2], к стр. 140 «Исследования по теории автоморфных функций, о

| которых здесь говорит Пуанкаре, он вел в творческом соревновании крупным немецким математиком Феликсом Клейном. Позже, чем

'Пуанкаре, в 1915 или 1916 гг., читая курс лекций по истории математики XIX века, Клейн тоже рассказал о ходе своих работ, и этот рассказ имеет немало общего с описанием Пуанкаре. Приведем !десь соответствующий отрывок, вошедший в книгу Клейна «Развитие математики в XIX в.»².

«Осень 1881 г. я провел для лечения у Северного моря... Следуя тогдашним рекомендациям врачей, я решил в пасхальные каникулы 1882 г. снова отправиться к Северному морю, в Нордерней. Я хотел там, в спокойной обстановке, написать вторую часть своей работы, связанной с идеями Римана... Но я выдержал только 8 дней, так как существовать было трудно: мощные штормы не давали выходить из дому, и у меня началась сильная астма. Я решил поскорее уехать на родину, в Дюссельдорф. В последнюю ночь, с 22 на 23 марта, которую я из-за астмы проводил сидя на диване, внезапно в полтретьего передо мною возникла основная теорема такой, какой я ее уже собственно раньше представлял себе с помощью чертежа четырнадцатиугольника в XIV томе журнала Mathematische Annalen- На следующее утро в почтовой карете, в которой тогда надо было ехать из Нордена в Эмден, я еще раз во всех деталях продумал то, что нашел. Теперь я знал, что имею большую теорему. Приехав в Дюссельдорф, я все сразу записал [напечатано в Mathematische Annalen, т. 20, 1882 г., стр. 49—51], датировал 27 марта, послал это издателю, а корректуры распорядился направить Пуанкаре и Шварцу...».

1 Цит. по книге: А. В. Лебединский, У. И. Франкфурт, А. М. Франк, Гельмгольц, М., 1966, стр. 131—132.

² См. там 3-ю часть: «Теория функций с 1850 до 1900 г.» Читателя и здесь не должны смущать специальные термины.

Послесловие щ

Автор этого единственного в своем роде произведения прожил долгую и плодотворную жизнь.

Жак-Соломон Адамар родился в Версале в 1865 г. Его блестящие и разносторонние способности проявились рано. На вступительных экзаменах в Политехническую школу в Париже он поставил рекорд, набрав большее число баллов, чем кто-либо из экзаменовавшихся туда до него'. По окончании Политехнической школы Адамар посвятил себя математике и вскоре сделал ряд крупных открытий. Наибольшую славу, пожалуй, принесло ему доказательство (одновременно с бельгийским математиком Де ла Валле-Пус-сеном) асимптотического закона распределения простых чисел (1896 г.). С 1900 года Адамар — профессор Парижского университета, позже он преподавал также в Политехнической школе и читал лекции во Французском колледже (College de France). В 1912 г. он был избран в Парижскую Академию наук.

Ведя интенсивную работу в области математики, Адамар принимал участие и в общественной жизни своей страны. Он был другом Советского Союза, несколько раз был гостем советских математиков, в годы после второй мировой зойны, несмотря на преклонный возраст, принимал участие в движении сторонников мира. Умер Адамар в Париже в 1963 г.

Ввиду угрозы немецкой оккупации Адамар был вынужден в 1940 г. уехать в США. Там в 1945 г. впервые была издана на английском языке его книга о психологии научного, прежде всего математического, творчества. Наш перевод сделан с французского издания 1959 г., которое автор просмотрел и расширил.

С тех пор, как была написана книга Адамара, интерес к рассматриваемым в ней проблемам неуклонно возрастал. Еще быстрее росла литература, преимущественно в виде журнальных статей, по психологии научного творчества. И все-таки книга Адамара остается и на сегодня явлением уникальным благодаря широте подхода ее автора и ценности использованных в ней материалов, в том числе фактов из иаучиой практики самого Адамара.

¹ Оценки иа этих экзаменах весьма дифференцированны, даются по стобалльной системе по двадцати предметам. Адамар набрал около 1900 баллов.

Адамар много раз обращается в своей книге к небольшому, но включительно ценному этюду Анри Пуанкаре (1854—1912 гг.),знаменитого французского математика, механика, физика. Было естественно дать этот этюд здесь полностью, в виде приложения.

Вряд ли надо доказывать, что, учитывая характер и недостаточную разработанность сложных вопросов психологии творчества, _в частности научного, к взглядам и выводам Адамара и Пуанкаре ппдо отнестись критически. Это не последнее, а почти что первое слово науки в этой трудной, но увлекательной области. И то, как подходят к анализу ее проблем два крупных математика, поучи-сльио, интересно и может служить отправным пунктом для дальнейших исследований.

И. Погребысский

Именной указатель

Августин 31 Адамар Жак Соломон 3, 57, 104, 108, 131, 148, 149 Ампер 57, 124 Антелл Джеймс 70 Аппель 15 Аристотель 41, 68 Асгейрсон 52 Баль Юлиус 85 Бергсон…

Т

Гельмгольц Грефе 19, 35—37

39, 45, 49. 55, 148, 149 Гердер 64

Гершель Вильям 10 Гете 89

Гийом Поль 26 Гильберт 52, 84, 97, 98 Гоббс 65 Гумбольдт 65 де Гурмоп, Реми 21 Ле-Дантек 7 Дарбу 15 Дарвин 90 Двельшауверс 53, 70 Декарт 11, 65, 76, 83, 84 Делакруа Анри 5, 44, 63, 70,

92, 107 Desdouits 24 Диксон Леонард 12 Дирихле 51 Джеймс Уильям 7, 28, 40, 41

81, 91 Джон 52 Дону 14

Драш Жюль 15, 16 Дуглас Джесси 79, 82, 90, т! Dumas G. 5 Дюгем 101, 119 Дюркхейм Эмнль 133 Евклид 52 Жанэ Пьер 25 Жордан 97, 98, 132 Иенсен 50 Кант 65, 89 Кантор Георг 60, 88 Кардано 114, 115, 126 Картан Эли 120 Келер 64, 65 Кеплер 59, 116 Клапаред 6, 13, 15, 16, 23

116, 49 Клейн Ф. 84, 97, 100—102, 10.

126, 149 Колумб 4 Коши 52, 102 Кронекер 88 Купман 82 Курант 52 Лагранж. 105 Ламартин 21, 57

Лзнжевен go.

Дапик Луи 74, 75

Лебег 88

Лебединский А. В. 149

Лежандр 111, 112

Леви-Сильвен 118

Леви-Стросс 86

Леви-Чивит 51

Лейбниц 11, 41, 24, 65, 89, 91, 120

Леонард Гютри 9

Леонардо да Винчи 126

Ли Софус 108

Локк 65, 89, 91

Ломброзо 126

Лопнталь 120

Лоренц 51

Лотце 87

Луи де Бройль 6

Майе 12, 13, 15

Майер Андре 86

Майерс 41

Мёбиус 9—11, 57

Мейерсон 107 ! Мечников 5

|. Милль Джон Стюарт 66, 91 ( Моцарт В. 20, 33, 35, 63, 120,

121 I Мюллер Макс 31, 64—67, 69, ' 72, 79, 87—90, 133

Николь Шарль 22, 47

Ньютон И. 11, 44, 56, 59, 60, 116, 120

Оствальд 20

Паскаль 52, 95

Патрик Катрин 21, 35, 38

Перрен Жан 87

Перрен Франсис 87

Пикар 15, 50

Плятт 37

Погребысский И. Б. 146

Пойя Г. 81, 82, 90

Полян Ф. 11, 12, 20, 47

Помпилий Нума 114, 115

Пуанкаре А. 3, 6, 9, 16—19, 22, 23, 28, 31—41, 43—47, 53, 55—57, 59, 60, 74, 98—100. 102—107, 111, 113, 114, 133— 135, 147, 149

Пэплеве Поль 10, 15

Рамзо П7

Расин 5

Рассел Бертран 121

Релей 117

Ренан Эрнест 118

Рибо 82, 87, 89

Риман 48, 50, 102, 104, 110, 118,

119, 149 де ля Рив 49 Рнччи 51 Роден 63 Rossman 34 Сидгвик 85, 87 Scripture 58 Сократ 114, 115 Спенсер Герберт 30, 95 Стенли 82 Стерлинг 36 Поль Сурье 5, И, 12, 22, 47,

53, 62, 123 Типл 37

Титченер 7, 70, 92, 93 Торричелли 4

Тэн И. 29, 68, 69, 93, 125—127 Уатт 77 Уоллас Грэхем 20, 28, 39, 40,

121, 123, 132 Уотсон 8 Фаге Эмиль 43 Ферма П. 109, ПО Ферроль 57, 58 Фихте 41

Франклин Бенджамен 4 Франкфурт У. И. 149 Фредгольм 51, 120 Фрейд 29 Фридрихе К. 36 Фуйе Альберт 25, 30, 91 Фурнуа 13, 15, 16 Харди 124

Хаусман А. Е. 21, 35 Челлини Бенвенуто 126 Шеллинг 41 Шопенгауэр 65, 72 Эйлер 72 Эпгр 63

Эйнштейн 51, 79, 80 81 Эрмит 5, 14, 15, 102, 103 104,

106, 112, 113, 118, 119 Якобсон Роман 86, 92

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие автора к французскому изданию .... 3

Введение .............. 4

ГЛАВА I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И АНКЕТЫ..... 7

ГЛАВА II. ДИСКУССИЯ О «БЕССОЗНАТЕЛЬНОМ» .... 24

ГЛАВА III. БЕССОЗНАТЕЛЬНОЕ И ОТКРЫТИЕ . . . - . 31

ГЛАВА IV. ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ СТАДИЯ. ЛОГИКА И

СЛУЧАЙ............ 43

ГЛАВА V. ДАЛЬНЕЙШАЯ СОЗНАТЕЛЬНАЯ РАБОТА . 55

ГЛАВА VI. ОТКРЫТИЕ КАК СИНТЕЗ. ПОМОЩЬ ЗНАКОВ 62

ГЛАВА VII. РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ УМОВ 95

Г Л А В А VIII. ПАРАДОКСАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ ИНТУИЦИИ . . 109

I Л А В А IX. ОБЩЕЕ НАПРАВЛЕНИЕ. ДАННОЕ ИССЛЕДОВАНИЮ ............. ПО

Заключительные замечания......... 125

Приложение I. Анкета о методах работы, математиков 128

Приложение II. Другое различие между умами: взгляд

на основу морали.......... 133

Приложение III. А. Пуанкаре. Математическое творчество 135

Примечание редактора........ 146

Послесловие......... . . 148 -,

Именной указатель........... 150J

ЖАК АДАМАР

ИССЛЕДОВАНИЕ ПСИХОЛОГИИ ПРОЦЕССА ИЗОБРЕТЕНИЯ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ

Обложка художника Л. Г. Ларского Художественный редактор В. Т. Сидоренко Технический редактор Г. 3. Шалимова