РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ УМОВ
Явления, которые мы рассматривали в первых пяти главах, по-видимому, сходным образом наблюдаются у многих специалистов-математиков. Напротив, конкретные представления, изученные в предыдущей главе, были далеко не одинаковыми для всех. Эта глава также будет посвящена различиям между путями, которые избирает математическая мысль. Но по отношению к нашему предыдущему исследованию она представляет собой то же, что представляет различие между зоологическими родами и видами по отношению к общей физиологии.
Случай здравого смысла
Начнем с начала, а именно с людей, рассуждающих просто здраво: мы можем сказать, что у них бессознательное играет большую роль и что они лишь немного пользуются последующей работой сознания.
Кроме того, случается, что их бессознательное является поверхностным, и его результаты несущественно отличаются от нормального рассуждения. Так, Спенсер, напомнив классический силлогизм: «Всякий человек смертен; Петр — человек; значит Петр смертен», предполагает, что вам рассказали о человеке в возрасте 90 лет, который затевает постройку для себя нового дома. Этот силлогизм действительно присутствует в вашем краевом сознании и разница лишь в форме между этим последним и ходом мысли (ходом мгновенным, как обычно в бессознательном), который вас приводит к выводу, что этот человек неразумен. То же самое может иметь место и для многих простых математических умозаключений.
Но в ряде других случаев пути здравого смыслов могут сильно отличаться от тех, по которым мож@И пойти четко сформулированное рассуждение. ОсобеннВ это касается вопросов конкретной природы, напримеЯг геометрических и механических. Наши представления по таким вопросам, усвоенные в раннем детстве, по-видимому, глубоко запрятаны в бессознательном; мы не можем их знать точно, и вероятно, что часто они содержат эмпирические выводы, полученные не путем рассуждения, а из чувственного опыта. Приведем несколь^ ко примеров. Н
Представим себе, что мы бросили перед собой «маЯ термальную точку» (т. е. крохотное тело, как, напримеиИ очень маленький шарик), которая будет продолжатвИ двигаться благодаря своей начальной скорости и своИ ему весу. Здравый смысл нам говорит, что это движе^И ние будет происходить в вертикальной плоскости, кото^И рая проходит через начальное направление броскаЯ В этом случае почти несомненно, что подсознани^И использует «принцип достаточного основания», так какЯ нет никаких оснований для того, чтобы точка в своемИ движении отклонилась скорее вправо, чем влево отЯ этой плоскости. Я
Математическое доказательство, как оно классиче<;Я ски излагается в курсах теоретической механики, осноЛИ вано на совершенно ином принципе и использует не-™ сколько теорем ' дифференциального и интегрального исчисления. Надо, однако, заметить, что доказательство, которое нам дает «здравый смысл», можно превратить в совершенно строгое, используя общую теорему (также относящуюся к интегральному исчислению), которая гласит, что в условиях, изложенных выше (при заданных величине и направлении скорости), движение определено однозначно. Эта теорема может в свою очередь быть строго доказана, но это доказательство приводится лишь в более строгих курсах интегрального исчисления, так что в обычном обучении способ, подсказанный здравым смыслом, действительно кажется менее элементарным, чем другой.
Рассмотрим теперь два геометрических примера. Если я хочу непрерывным движением точки описать в плоскости кривую, то здравый смысл подсказывает, что во всех ее точках (кроме, может быть, нескольких