Совершенно естественным является стремление при разработке цифровых фильтров ( ЦФ ) использовать богатый опыт, накопленный специалистами по проектированию аналоговых фильтров (АФ). Поэтому наиболее распространенные методы синтеза цифровых фильтров основаны на использовании аналогового фильтра-прототипа, то есть физически реализуемого аналогового фильтра, удовлетворяющего поставленным техническим требованиям. При этом должна быть известна частотная или импульсная характеристика фильтра-прототипа.
Проектирование цифровых фильтров включает пять основных этапов:
1. Решение задачи аппроксимации с целью определения коэффициентов цифрового фильтра, при которых фильтр удовлетворяет требованиям к временным либо частотным характеристикам.
2. Выбор структуры (формы реализации) цифрового фильтра.
3. Задание разрядностей коэффициентов фильтра, входного и выходного сигналов и арифметических устройств.
4. Проверка с помощью математического, либо имитационного моделирования соответствия характеристик разработанного ЦФ заданным.
5. Аппаратная либо программная реализация цифрового фильтра.
Подобно расчету аналоговых фильтров, расчет цифровых фильтров, включает в себя процесс нахождения подходящей передаточной функции, которая должным образом удовлетворяет предъявленным требованиям.
Расчет цифровой цепи по заданным требованиям к ее характеристикам имеет ряд принципиальных особенностей в зависимости от наличия обратной связи.
Цифровые фильтры в зависимости от обратной связи бывают рекурсивные (РФ) и нерекурсивные (НФ).
Преимущества нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему:
- нерекурсивные фильтры могут иметь точно линейную ФЧХ;
- мощность собственных шумов НФ, как правило, гораздо меньше, чем у РФ;
- для НФ проще вычисление коэффициентов.
Недостатки нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему:
- рекурсивные фильтры позволяют производить обработку сигнала с более высокой точностью, так как они позволяют более правильно реализовать импульсную характеристику без отбрасывания ее «хвоста»;
- схемная реализация РФ намного проще, чем у НФ;
- рекурсивные фильтры позволяют реализовать алгоритмы, вообще не- реализуемые с помощью нерекурсивных фильтров.
В простейшей нисходящей дискретной системе использование РФ может оказаться более предпочтительным при минимизации емкости оперативной памяти или объема оборудования.
Ниже рассматривается пример использования рекурсивного цифрового фильтра.
Расчет рекурсивных фильтров косвенным методом состоит из следующих двух этапов.
1. Получение подходящей передаточной функции аналогового фильтра – прототипа Н( р).
2. Создание процедуры перехода, которая преобразует функцию Н(p) аналогового фильтра в соответствующую передаточную функцию H(z) цифрового фильтра.
Назовем основные методы преобразования аналогового фильтра в цифровой:
- инвариантного преобразования импульсной характеристики;
- отображения дифференциалов;
- билинейного преобразования;
- Z- форм.
Для расчета наиболее подходящим простым и широко используемым является метод билинейного преобразования передаточной функции Н(р) аналогового фильтра - прототипа в соответствующую передаточную функцию Н(z) РЦФ.
Метод билинейного преобразования.
Билинейное преобразование представляет собой конформное отображение точек р – плоскости в точки на z – плоскости и использует замены вида:
Р = 2*( z-1)/Т*( z+1);
Где Т – период частоты дискретизации, на которой работает цифровой фильтр.
Билинейное преобразование обеспечивает однозначное преобразование передаточной функции Н(р) аналогового фильтра – прототипа в передаточную функцию Н( z) цифрового фильтра:
Н(z)=Н(р)
Рассмотрим это преобразование.
Каждой точке комплексной р – плоскости (р = σ +јw) ставится в соответствие определенная точка z – плоскости (z = ехр(σ+јw)Т).
Мнимая ось р – плоскости (р = јw) для (-∞< w < ∞) отображается в единичную окружность в z – плоскости (z = exp(јwT)). Левая половина р – плоскости отображается в часть z – плоскости внутри единичного круга (|z| < 1).
Очень важными являются два обстоятельства.
Во-первых, поскольку все полюсы устойчивого аналогового фильтра расположены в левой половине р – плоскости, то при преобразовании
аналогового фильтра к цифровому получается также устойчивый фильтр.
Во- вторых, так как мнимая ось р – плоскости отображается на единичную окружность z – плоскости, то все максимумы и минимумы АЧХ |H(јw)| аналогового фильтра сохраняется и в АЧХ |H(eјwt)| цифрового фильтра.
Сохраняется также неравномерность АЧХ для соответствующих диапазонов частот.
Таким образом, избирательные аналоговые фильтры преобразуются в соответствующие цифровые фильтры.
Соотношение между «аналоговыми» частотами Ω и «цифровыми» частотами w определяется уравнением
Ω = (2/т)tg(wT/2) = (2/T)(tg(πwn);
где wn = w/wD – нормированная относительно частоты дискретизации «цифровая» частота.
Перечислим последовательность этапов расчета ЦФ методом билинейного преобразования.
1. Перевести требуемые характеристики и нормы ЦФ в соответствующие требования к АФ, применяя формулу:
Ω = (2/Т)tg(wT/2),
где w – реальная частота, т.е. частота проектируемого ЦФ,
Ω – расчетная частота, т.е. частота вспомогательного АФ.
2. Рассчитать передаточную функцию Н(р) аналогового фильтра-прототипа, применяя методы расчета аналоговых фильтров.
3. Определить передаточную функцию ЦФНЧ (Н(Z)) по известной Н(р).
4. Построить схему ЦФ по Н(Z).
5. Выполнить необходимые расчеты по учету эффектов конечной разрядности.
В данном проекте будем использовать аппроксимацию характеристик фильтров полиномами Баттерворта и Чебышева, а также Кауэра.
Пример расчета цифрового ФНЧ Баттерворта приведен в приложении 3, Чебышева – в приложении 4, Кауэра – в приложении 5.