Будет ли выражение высказыванием? Нет, эта запись есть высказывательная форма от одной переменной . Если вместо переменной подставлять допустимые значения, то получаем различные высказывания, которые могут быть как верными, так и ложными:
Внимательного рассмотрения заслуживает фраза «допустимые значения». Это какие? В данном примере область допустимых значений (ОДЗ) есть все вещественные числа. Вообще, если у нас имеется какое-либо аналитическое выражение, то под естественной ОДЗ этого выражения понимаются все объекты (это могут быть как числа, включая комплексные, так и матрицы, многочлены, функции и т.п.) при которых все операции, входящие в запись аналитического выражения, так же как и отношения, корректно определены, и мы в итоге получаем значение этого выражения. В силу каких-либо причин можно ограничить естественную ОДЗ.
Высказывательную форму можно «замкнуть» двумя существенное разными способами – применяя кванторы существования и всеобщности:
Получаются два существенно разных высказывания, а переменная при этом замыкании становится «немой», вместо нее можно подставить любой знак, при этом высказывания не изменятся. Для кванторов существования и всеобщности имеются общепринятые обозначения:
Если ОДЗ есть конечное множество , то высказвание эквивалентно конъюнкции , а высказывание эквивалентно дизъюнкции .
Для высказывательных форм от двух переменных требуются уже два квантора для их замыкания. Предупреждение: порядок использования кванторов важен. Все возможные случаи замыкания перечислены ниже
Формально – восемь случаев, но эквивалентно и эквивалентно . Следовательно, остается шесть различных способов замыкания.
ПРИМЕР. Рассмотрим высказывательную форму :
где ОДЗ первой переменной – положительные действительные числа, а ОДЗ второй – натуральные числа. Здесь -- данная последовательность чисел, а -- данное число. Если мы замкнем таким образом:
то получим утверждение эквивалентное . Если замкнуть по другому:
то получим утверждение эквивалентное следующему: начиная с некоторого N последовательность постоянна и равна .