Определитель квадратной матрицы A есть ее числовая характеристика, обозначаемая или . Начнем с определителей матриц малых размерностей 1,2,3:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть -- n×n-матрица ( . Определителем матрицы A называется число, которое вычисляется по следующему правилу
где -- определитель матицы, полученной из вычеркиванием первого столбца и j-ой строки.
ТЕОРЕМА 1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали. В частности, .
Доказательство – индукция по с разложением по первому столбцу.□
Перечислим свойства определителей ( все они проверяются непосредственно для 2х2 и 3х3-матриц).
Свойство 1. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
Функция переменных вида называется линейной. Она обладает свойством
Наоборот, любая функция n переменных, обладающая свойством (7) линейна.
Свойство 2 (полилинейность). Определитель -- линейная функция от каждой строки (каждого столбца) матрицы.
Свойство 3 (кососимметричность). Определитель меняет знак при перемене местами двух строк (двух столбцов).
Свойство 4. Определитель равен нулю, если какие-либо две строки (два столбца) совпадают.
Свойство 5. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.
Свойство 6. Определитель не изменится, если над строками совершить элементарное преобразование первого типа, т.е. к одной строке прибавить другую, умноженную на какое-либо число. То же верно и для столбцов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. -ым минором матрицы A называется определитель матрицы, получающейся из A вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца. Обозначаем этот минор -- . Алгебраическим дополнением –го элемента матрицы A называется величина .
Свойство 7. Разложение определителя по j -му столбцу и i -ой строке:
Имеют место также ложные разложения по r -ой строке и r -ому столбцу; если и , то
ТЕОРЕМА. Определитель произведения матриц равен произведению определителей: (для любых -матриц и ).