В этом параграфе изучается лишь одно поле -- поле комплексных чисел ℂ . С геометрической точки зрения оно представляет из себя плоскость, а с алгебраической точки зрения в этом поле любой неконстантный полином разложим в произведение линейных множителей. В этом смысле поле комплексных чисел проще устроено, чем поле действительных чисел и тем более, чем поле рациональных чисел. На базе этого поля строится теория функций комплексного переменного, которая богата своими приложениями к инженерным наукам. К полю комплексных чисел приводит казалось бы частная задача -- извлечение квадратного корня из -1. Если единицу трактовать как тождественное преобразование плоскости, то -1 будет поворотом плоскости на . Ясно, что в этой ситуации корень из -1 есть поворот на . Такой поворот описывается матрицей , квадрат которой равен –E (см. предыдущий параграф). В этих двух фразах изложена идея построения комплексной плоскости. Решив одно уравнение , мы получаем принципиальную возможность решить любое полиномиальное уравнение (см. «Основная теорема алгебры».)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.Полем комплексных чисел называется наименьшее расширение поля действительных чисел, содержащее корень уравнения .