Поле комплексных чисел доставляет нам новое свойство -- наличие нетождественного непрерывного автоморфизма (изоморфизма на себя).
Комплексное число называется сопряженным к , а отображение называется сопряжением. С геометрической точки зрения операция сопряжение есть не что иное, как отражение относительно действительной оси. Для реализации поля комплексных чисел в виде кольца 2×2-матриц С, сопряжение есть не что иное как транспонирование матрицы.
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда z – действительное число. Кроме этого, сопряжение обладает свойством гомоморфности по отношению к сложению и умножению:
Эти свойства проверяются непосредственно. Как и всякая симметрия, сопряжение обладает свойством инволютивности: для любого .
Отметим также свойство , которое приводит к следующему правилу деления комплексных чисел: для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое надо числитель и знаменатель дроби умножить на величину сопряженную знаменателю.