Пусть “ ” – отношение эквивалентности на множестве М. Для элемента обзначим через класс эквивалентности. Тогда множество М разбивается в объединение классов эквивалентности; каждый элемент из М принадлежит ровно одному классу эквивалентности.
Наоборот, если есть разбиение, то отношение
есть отношение эквивалентности.
В алгебре обычно изучается непустое множество с набором операций разной арности, заданными на нем и определенными отношениями типа тождества между операциями (см. выше ассоциативность и коммутативность бинарной операции).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Непустое множество с набором операций , удовлетворяющим заданным тождествам, называется алгебраической системой; сам набор операций вместе с их арностями называется сигнатурой алгебраической системы, а тождества называются аксиомами этой системы. Множество называется носителем системы. Если в сигнатуру кроме операций входят также и отношения, связанные с операциями своими аксиомами, то называют алгебраической моделью.
ПРИМЕР 1. Различные алгебраические модели (без учета аксиом)
а. – множество натуральных чисел с двумя бинарными операциями, одной 0-арной (единица) и отношением линейного порядка.
б. -- кольцо целых чисел
в. -- поле рациональных чисел; поле действительных чисел ℝ с той же сигнатурой
г. - поле комплексных чисел.