Математический текст состоит из определений и утверждений. Некоторые утверждения в зависимости от важности и отношения к другим утверждениям называются одним из следующих терминов: «Аксиома», «Теорема», «Предложение», «Свойство», «Следствие», «Лемма». В определении объясняется, что означает какой-либо математический объект или что означает отношение между объектами посредством сведения к ранее определенным понятиям. Эти понятия, в свою очередь, вводятся в математический текст на основе ранее сформулированных определений и т.д. В виду конечности любого самого полного и подробного математического текста, мы очень быстро приходим к базовым, неопределяемым понятиям и отношениям, которые не определяются, а лишь иллюстрируются на примерах, взятых "из жизни". Таким базовым понятием в математике является понятие множества M,N,A,… , а неопределяемым отношением является отношение принадлежности между множествами: a∈ A (читается: "элемент a принадлежит множеству A"). Множество можно мыслить как некую совокупность объектов, взятую как единое целое: множество людей на Земле, множество рыб в океане, множество птиц в стае и пр. В математике, конечно, имеют дело с математическими, а значит строго определенными множествами чисел, функций, геометрических фигур и т.д. Самый простой способ определить множество -- перечислить все его элементы. Например, A:={5,1,2,0} -- множество, элементами которого являются числа 0,1,2 и 5. Здесь использован также знак ":=" который заменяет слова "равно по определению".
Два множества M и N равны (записываем ), если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. для всякого принадлежность равносильна принадлежности . Например, A совпадает с множеством {1,1,0,5,2}. Выше сформулирована одна из аксиом теории множеств. Аксиомы наряду с теоремами и предложениями также относятся к утверждениям, но в отличие от последних не доказываются, а принимаются на веру. На аксиомы в математической теории падает самая большая нагрузка и ответственность -- во-первых, их выбирают исходя из самых существенных и принципиальных характеристик описываемых явлений жизни, других нематематических наук и других математических теорий. Во-вторых, их следует выбрать так, что бы теория не была противоречивой, т.е. в рамках этой теории не могло бы быть выведено какое-либо утверждение и в то же время отрицание этого утверждения (например, "a∈A и a∉ A"). Далее следует позаботиться о том, чтобы развиваемая теория адекватно и полно описывала те явления, ради которых она создавалась.
Заметим, что термин «элемент» с математической точки зрения эквивалентен термину «множество». Если мы хотим сказать, что элемент x не принадлежит множеству M, то пишем . Другие аксиомы теории множеств являются фактически правилами построения новых множеств из уже имеющихся. В частности, постулируется существование пустого множества ∅. Это множество не содержит ни одного элемента, т. е. для любого элемента x верно .
Для множества M постулируется существование множества 𝒫 (M) всех его подмножеств. При этом множество N называется подмножеством множества M (записываем или ), если всякий элемент из является также и элементом множества . Пустое множество, а также все множество заведомо будут подмножествами множества .
Перечислим все элементы множества :
Как мы видим, содержит восемь элементов. Обозначим через количество элементов в множестве . Тогда
Действительно, обозначим и перенумеруем элементы множества = . Сопоставим подмножеству бинарную строку длины так, что в случае и в противном случае. Получаем биекцию между множеством и множеством бинарных строк длины n. Так как , то и . Заодно мы получили способ нумерации элементов множества всех подмножеств.
ПРИМЕР. M:={2,{0,3,1},0} -- множество из трех элементов, один из которых есть множество {0,3,1}, и это множество не является подмножеством первого. С другой стороны, множество {{0,3,1}} состоит из одного элемента, принадлежащего также и множеству M, поэтому {{0,3,1}}⊂ M. Здесь знак включения "⊂ " строгий. Это значит, что множество в левой части содержится в множестве M, но не совпадает с ним.
С множествами можно осуществлять операции объединения, пересечения, разности и декартова произведения.
· Объединением множеств M и N называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих либо M, либо N (не исключающее "либо").
· Пересечением множеств M и N называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих M и N одновременно.
· Разностью множеств M и N или дополнением множества N до множества M называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих M, но не N.
Имеют место следующие числовые соотношения конечных множеств: