Упорядоченная пара, или просто пара элементов это одна из фундаментальных конструкций в математики. Представлять её можно как полочку с двумя местами -- первым и вторым. Очень часто в математике неважно как на самом деле устроен тот или иной объект, а важны правила обращения с ним. Подобно этому при игре в шахматы совершенно неважно из чего сделаны фигуры и какой они в точности формы, -- важны лишь правила игры. Правило обращения с парой одно:
( -- логический знак, заменяющий слова "тогда и только тогда, когда", "если и только если" и т.п.) Далее индуктивно можно строить упорядоченные тройки элементов, четверки элементов и т. д.:
Декартовым произведением двух множеств M и N называется множество всех пар (m,n), где m пробегает M, а элемент n пробегает N. Существование пары элементов и существование декартова произведения -- очередные аксиомы теории множеств.
ПРИМЕР. Если и , то
Общее правило подсчета элементов в декартовом произведении (правило умножения) таково: