Числа {1,2,3,… }, которые можно получить из единицы операцией сложения, называют натуральными и обозначают ℕ. Аксиоматическое описание натуральных чисел может быть таким (см. [М, стр. 115]): это множество ℕ на котором имеется выделенный элемент 1∈ ℕ (0-арная операция) и имеется унарная операция прибавления единицы, сопоставляющая всякому натуральному числу n натуральное число n+1, причем выполняются следующие аксиомы:
(N1) для любого натурального числа n результат n+1 не равен единице;
(N2) для любых двух натуральных чисел из равенства n+1=m+1 вытекает равенство n=m;
(N3) (метод математической индукции) пусть 𝒜 〈n〉 -- какая-либо высказывательная форма с переменной n∈ ℕ. Если высказывание 𝒜 〈1〉 верно, и для любого натурального n из 𝒜 〈n〉 вытекает 𝒜〈 n+1〉 , то утверждение 𝒜 〈n〉 верно для всех натуральных n.
Реальной интерпретацией натуральных чисел может служить какое-либо вместилище (коробка, мешок и т.д.) однородных объектов (камней, шаров, монет и т.д.). Другая, геометрическая интерпретация, -- отрезки на прямой ℓ, которые получаются в результате откладывания с помощью циркуля выбранного заранее единичного отрезка. Теоретико-множественная интерпретация, а точнее рекуррентное построение системы натуральных чисел вместе с нулем заключается в том, что мы полагаем и для каждого следующего натурального полагаем . Тогда