От аксиом N1-N3 до знакомых всем с начальной школы операций сложения и умножения натуральных чисел, сравнения натуральных чисел между собой и свойств вида "от перемены мест слагаемых сумма не изменится" большая дистанция. Зачастую доказательство таких утверждений есть формальные проверки с многократным использованием метода математической индукции. Принципиальный момент – рекурсивные определения сложения и затем умножения натуральных чисел. В общем виде рекурсия -- это метод построения или вычисления, когда каждый следующий объект строится (вычисляется) на основе предыдущих. Абстрактно рекурсия в простейшем виде описывается отображением F:M → M и начальным значением . Далее объект вычисляется как в предположении, что уже известен.
Метод математической индукции показывает, что тогда мы получаем отображение или последовательность объектов из множества M. Сама формула называется рекуррентной и ее использование возможно лишь, если явно задано начальный объект .
Определим сложение посредством рекуррентной формулы m+(n+1):=(m+n)+1. Например,
Умножение определяется явным заданием формулы умножения на единицу: m⋅ 1:=m, а также рекуррентной формулы m⋅ (n+1):=m⋅ n+m. В частности, единица есть нейтральный элемент операции умножения. Далее доказываются фундаментальные свойства операций сложения и умножения
Ассоциативность: для любых чисел выполняются равенства
Здесь специально вместо выражения "для любых натуральных чисел" употребляется выражение "для любых чисел"; эти фундаментальные свойства верны для всех чисел.
Докажем, например, ассоциативность сложения индукцией по k. Для k=1 получаем формулу (m+n)+1=m+(n+1). Это равенство справедливо для всех натуральных чисел m и n по определению сложения. Допустим теперь, что равенство (m+n)+k=m+(n+k) для некоторого k и при любых m и n установлено и теперь нам надо проверить аналогично равенство для k+1:
Здесь во втором равенстве использовано предположение индукции, а в остальных использовано определение сложения. Ассоциативность сложения доказана в силу принципа математической индукции (см. аксиому N3). Аналогично проверяются остальные свойства сложения и умножения.
Присоединим к множеству натуральных чисел элемент ноль 0, обладающий свойствами
для любого n∈ ℕ . Получаем множество всех целых неотрицательных целых чисел, для которых перечисленные выше свойства ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности сохраняются.