Методика расчета установившихся несинусоидальных токов в линейных электрических цепях

Установившиеся несинусоидальные токи будем рассчитывать методом наложения. Для этого несинусоидальные ЭДС источников разложим в ряд Фурье, т.е. представим в виде бесконечной суммы синусоидальных функций времени. Как показывают расчеты, чтобы обеспечить точность, достаточную для практики можно использовать не более 5 ..7 членов ряда.

Пример 2.4.3. Покажем, как изменится форма аппроксимирущей функции, если изменять число членов аппроксимирующего ряда. Рассмотрим

функцию ЭДС, которая получается, если последовательно синусоидальному источнику ЭДС включить диод.

 

 

 

 

Вид такой функции покажем на графике (рис. 4.1 ).

 

 

Представим теперь эту функцию в виде суммы нескольких членов ряда Фурье. Положим вначале число членов суммы N=7. Вычислим коэффициенты ряда Фурье по известным формулам.

 

 

Рисунок 2.4.1- Зависимость от времени несинусоидальной ЭДС

 

В показанной MathCAD- подпрограмме Е представляет собой двумерный массив, число столбцов которого равно числу членов суммы; в нулевую строку заносятся значения амплитуд гармоник, а в первую строку заносятся их аргументы.

На рис.4.2 показана форма аппроксимирующей функции при N=7, а на рис. 4. – то же при N=3.

 

Рисунок 2.4.2 – Форма аппроксимирующей функции при N=7

Рисунок 2.4.3 – Форма аппроксимирующей функции при N=3

Как видно из рис. 4.3 при N=5 форма кривой аппроксимируется с точностью, достаточной для практики. Чтобы рассчитать несинусоидальные токи необходимо N раз выполнить расчет синусоидальных токов всех гармонических составляющих, а также выполнить расчет постоянных токов, вызванных постоянной составляющей ЭДС. Синусоидальные токи гармоник рассчитываются с помощью уравнений Кирхгофа в комплексной форме.

 

 

Пример 2.4.4. Рассчитаем токи во всех ветвях цепи, показанной на рис. 4.4 при воздействии ЭДС, показанной на рис. 4.1.

Рисунок 2.4.4 – Схема электрической цепи несинусоидальных токов

 

Уравнения Кирхгофа для к-й гармоники имеют вид:

 

 

 

Мгновенные несинусоидальные токи вычислим как суммы гармоник:

Построим графики зависимости от времени несинусоидальных токов во всех ветвях:

 

а)

б)

 

 

в)

Рисунок 2.4.5 – Временные зависимости несинусоидальных токов во всех ветвях

Вычислим погрешность расчета путем подстановки полученных функций токов в уравнение, составленное по закону напряжений Кирхгофа, причем зависимость ЭДС от времени возьмем исходную, а не аппроксимированную рядом Фурье.

Рисунок 2.4.6 – Зависимость погрешности расчета от времени при N=5

 

 

Рисунок 2.4.7 - Зависимость погрешности расчета от времени при N=7

Вывод: для обеспечения точности, достаточной для практики, можно использовать расчет по 7 гармоникам ряда Фурье. Для улучшения точности следует увеличить число гармоник N.