ДЕМОКРИТ АргументыЗенона вскрыли внутренние противоречия, которые имелиместо в сложившихся математических теориях. Тем самымфакт существо-вания математики был поставлен под сомнение. Какими жепутями разре-шались противоречия, выявленные Зеноном ? Простейшимвыходом из создавшегося положения балотказ от абс-тракций в пользу того, что можно непосредственнопроверить с помощьюощущений. Такую позицию занял софист Протагор.Он считал,что мы неможем представить себе ничего прямого или круглого в томсмысле, какпредставляет эти термины геометрия в самом деле, кругкасается пря-мой не в одной точке . Таким образом, из математики следует убратькак ирреальные представления о бесконечном числе вещей, так какникто не может считать до бесконечности бесконечнуюделимость, пос-кольку она неосуществима практически и т.д. Таким путем математикуможно сделать неуязвимой для рассуждений Зенона, но приэтом практи-чески упраздняется теоретическая математика.
Значительносложнее бы-ло построить систему фундаментальных положенийматематики, в которойбы выявленные Зеноном противоречия не имели бы места.
Этузадачу ре-шил Демокрит, разработав концепцию математическогоатомизма.Демокритбал, по мнению Маркса, первымэнциклопедическим умомсреди греков . Диоген Лаерций III в. н.э. называет 7О его сочине-ний, в которых были освещены вопросы философии, логики, математики,космологии, физики, биологии, общественной жизни,психологии, этики,педагогики, филологии, искусства, техники и другие.Аристотель писало нем Вообще, кроме поверхностных изысканий, никтоничего не уста-новил, исключая Демокрита.
Что же касается его, то получается такоевпечатление, что он предусмотрел все, да и в методе вычислений онвыгодно отличается от других . Вводной частьюнаучной системы Демокрита была каноника , в ко-торой формулировались и обосновывались принципыатомистической фило-софии. Затем следовала физика, как наука о различныхпроявлениях бы-тия, и этика.Каноника входила в физику в качестве исходного разде-ла, этика же строилась как порождение физики.
В философии Демокритапрежде всего устанавливается различие между подлинно сущим и тем,что существует только в общем мнении . Подлинно сущими считалисьлишь атомы и пустота.Как подлинно сущее, пустота небытие есть та-кая же реальность, как атомы бытие . Великая пустота безграничнаи заключает в себе все существующее, в ней нет ни верха,ни низа, никрая, ни центра, она делает прерывной материю и возможным ее движе-ние. Бытие образуют бесчисленные мельчайшиекачественно однородныепервотельца, различающиеся между собой по внешним формам, размеру,положению и порядку, они далее неделимы вследствие абсолютной твер-дости и отсутствия в них пустоты и по величине неделимы . Атомамсамим по себе свойственно непрестанное движение, разнообразие кото-рого определяется бесконечным разнообразием форм атомов.
Движениеатомов вечно и в конечном итоге являетсяпричиной всех изменений вмире.Задачанаучного познания, согласно Демокриту, чтобы наблюдаемыеявления свести к области истинного сущего и датьим объяснение ис-ходя из общихпринципов атомистики.
Это может бытьдостигнуто пос-редством совместной деятельности ощущений и разума.Гносеологическуюпозицию ДемокритаМаркс сформулировал следующим образом Демокритне только не удалялся от мира, а, наоборот, былэмпирическим естест-воиспытателем . Содержание исходных философских принципов и гносео-логические установки определили основные чертынаучного метода Де-мокрита а В познанииисходить от единичного б Любые предмет и явление разложимы до простейшихэлементов анализ и объяснимы исходя из них синтез в Различатьсуществование по истине и согласно мнению г Явлениядействительности - это отдельные фрагменты упорядо-ченного космоса, который возник и функционирует врезультате дейс-твий чисто механической причинности. Математикапо праву должна считаться у Демокритапервым разде-лом собственно физики и следовать непосредственно за каноникой.
Всамом деле, атомы качественно однородны и их первичныесвойства име-ют количественный характер.
Однако было бы неправильно трактоватьучение Демокрита как разновидность пифагореизма, поскольку Демокритхотя и сохраняет идею господства в мире математическойзакономернос-ти, но выступает скритикой априорных математических построений пи-фагорейцев, считая, что число должно выступать незаконодателем при-роды, а извлекаться из нее. Математическая закономерностьвыявляетсяДемокритом из явлений действительности, и в этом смысле он предвос-хищает идеи математического естествознания.
Исходные начала матери-ального бытия выступают у Демокрита в значительнойстепени как мате-матические объекты, и в соответствии с этим математике отводитсявидное место в системе мировоззрения как науке о первичныхсвойствахвещей.Однако включение математики в основание мировоззренческойсистемы потребовало ее перестройки, приведения математики в соот-ветствие с исходными философскими положениями, с логикой, гносеоло-гией, методологией научного исследования.
Созданная таким образомконцепция математики, называемая концепцией математического атомиз-ма, оказалась существенно отличной от предыдущих. У Демокритавсе математические объекты тела, плоскости, линии,точки выступают в определенных материальных образах. Идеальныеплоскости, линии, точки в его учении отсутствуют.Основной процеду-рой математического атомизма является разложениегеометрических телна тончайшие листики плоскости , плоскостей - на тончайшие нитки линии , линий - на мельчайшие зернышки атомы . Каждый атом имеетмалую, но ненулевую величину и далее неделим.
Теперьдлина линии оп-ределяется как сумма содержащихся в ней неделимых частиц. Аналогичнорешается вопрос овзаимосвязи линий на плоскости и плоскостей в те-ле. Число атомов в конечном объеме пространства небесконечно, хотяи настолько велико, что недоступно чувствам. Итак, главным отличиемучения Демокрита от рассмотренных ранее являетсяотрицание им беско-нечной делимости.Таким образом он решает проблемуправомерности те-оретических построений математики, не сводя их к чувственно воспри-нимаемым образам, как это делал Протагор.
Так, нарассуждения Прота-гора о касании окружности и прямой Демокрит мог бы ответить, чточувства, являющиеся отправным критерием Протагора, показывают ему,что чем точнее чертеж, тем меньше участок касания вдействительнос-ти же этот участок настолько мал, что не поддаетсячувственному ана-лизу, а относится к области истинного познания.Руководствуясьположениями математическогоатомизма, Демокритпроводит ряд конкретных математических исследований идостигает вы-дающихся результатов например, теория математической перспективы ипроекции . Кроме того, он сыграл, по свидетельствуАрхимеда, немало-важную роль вдоказательстве Эвдоксом теорем об объеме конуса и пи-рамиды.
Нельзя с уверенностью сказать, пользовался ли онпри решенииэтой задачи методами анализа бесконечно малых.А.О.Маковельский пи-шет Демокрит вступил на путь, по которому дальше пошли Архимед иКавальери.
Однако, подойдя вплотную к понятию бесконечномалого, Де-мокрит не сделал последнего решительного шага. Он недопускает безг-раничного увеличения числа слагаемых, образующих в своей сумме дан-ный объем. Он принимает лишь чрезвычайно большое, неподдающееся ис-числению вследствие своей огромности число этихслагаемых . Выдающимсядостижением Демокрита в математике явилась также егоидея о построении теоретической математики каксистемы.В зародыше-вой форме она представляет собой идею аксиоматического построенияматематики, которая затем была развита в методологическомплане Пла-тоном и получила логически развернутое положение уАристотеля.