Электронный газ в модели одномерной бесконечно глубокой потенциальной ямы. Электронный газ в модели бесконечно глубокой трехмерной потенциальной ямы

Валентные электроны в металле могут довольно свободно перемещаться в пределах объема металлического образца. Потенциальная энергия электрона в пределах образца металла приблизительно постоянна, но для выхода электрона из металла надо совершить работу против сил электростатического притяжения отрицательного электрона к ионному остатку.

Таким образом, валентные электроны металла находятся в потенциальной яме. Глубина этой ямы - работа выхода электронов из металла A - составляет несколько электронвольт. При низких температурах, когда тепловое движение не способно удалить электрон из металла, потенциальную яму можно считать бесконечно глубокой. Мы начнем рассмотрение поведения свободных (валентных) электронов в металле с самой простой модели: модели одномерной бесконечно глубокой потенциальной ямы при T = 0. Затем обобщим результаты на случай более реалистичной модели бесконечно глубокой трехмерной ямы. После чего рассмотрим поведение свободных электронов в металле (электронный газ) при T > 0, для чего нам потребуются элементы квантовой статистики Ферми-Дирака.

 

§ 1. Электронный газ в модели одномерной бесконечно глубокой ямы

Поведение одной частицы в бесконечно глубокой одномерной яме было разобрано в § 3 лекции N 7. Теперь мы хотим разместить в этой яме N свободных электронов. При этом взаимодействием между электронами мы пренебрегаем, но обязательно должны учесть принцип Паули (§ 1, лекция 9). В нашем случае квантовыми числами, задающими состояние электрона, будут n и спиновое квантовое число m_s, которое для электрона может принимать два значения, m_s = ±1/2. Принцип Паули утверждает, что в одномерной яме не может быть двух электронов с одинаковыми квантовыми числами n и m_s. Так как m_s принимает два значения, то на каждом энергетическом уровне в одномернойяме сможет разместиться не больше двух электронов.

Уровень энергии, отвечающий различным квантовым состояниям, называется вырожденным. В одномерной потенциальной яме все уровни двукратно вырождены.

На рисунке 10.1 изображена одномерная, бесконечно глубокая потенциальная яма, в которой размещены шесть электронов (N = 6) при T = 0. Первые три энергетических уровня заняты, все остальные, начиная с четвертого (n = 4) - свободны.

Рис. 10.1