Результаты квантовой теории электропроводности металла

В Ч. 4 настоящего курса была приведена формула (6.9) для σ - удельной проводимости, полученная П. Друде в рамках классической теории электропроводности:

Из распределения Максвелла следует, что средняя скорость движения электрона в металле <v> пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры, т.е. . В результате из классической теории электропроводности следует, что , тогда как опыт дает (см. Ч. 4, § 6).

Квантовая теория электропроводности дает для s следующую формулу:

В этой формуле m* - эффективная масса электрона, которая учитывает влияние сил, действующих на электрон со стороны ионных остовов кристаллической решетки.

Скорость v_F с большой точностью можно считать независящей от температуры, таким образом температурная зависимость проводимости σ определяется зависимостью от температуры длины свободного пробега λ. Зависимость λ(T) обусловлена, в основном, тепловыми колебаниями атомов кристалла и при не очень низких температурах (T ≥ 100K) эта зависимость линейна, т.е. λ ~ T. Это и приводит к линейной зависимости удельного сопротивления от температуры, т.е.:

§ 2. Термоэлектронная эмиссия

Термоэлектронной эмиссией называется испускание электронов нагретыми телами.

Глубина потенциальной ямы U₀ (см. рис. 12.1)_, в которой находятся электроны в металлах, порядка 10 эВ (например в цезии U₀ ≈ 3,5 эВ, в бериллии U₀ ≈ 18 эВ). Энергия Ферми, разумеется, меньше, чем U₀ (для цезия E_F = 1,58 эВ, для бериллия E_F = 14,14 эВ).

Рис. 12.1

Наименьшая работа, необходимая для удаления электрона из металла, равна:

Эта работа А называется работой выхода электрона из металла. При T > 0 K работу выхода также определяют как разницу между глубиной потенциальной ямы U₀ и уровнем Ферми. Так как уровень Ферми E_F зависит от температуры (11.3), то величина работы А также немного зависит от температуры.

Рис. 12.2

При T > 0 имеется некоторое количество электронов, энергия которых достаточна для выхода из металла. Покинуть металл могут те электроны, энергия которых E > U₀ (см. рисунок 12.2). Число их пропорционально площади, ограниченной хвостом правого графика и осью энергий:

Около поверхности нагретого металла возникает электронное облако. Это облако и металл находятся в динамическом равновесии: потоки электронов из металла в облако и из облака в металл одинаковы.

Пусть поверхность нагретого металла лежит в плоскости x, y, а ось z направлена перпендикулярно поверхности, как изображено на рисунке 12.3. Расположим параллельно катоду еще одну металлическую пластину и подадим на нее положительный потенциал.

Возникающее электрическое поле будет создавать направленное движение электронов от катода к аноду - потечет электрический ток. При увеличении положительного потенциала анода электрический ток сначала растет, затем достигает максимального значения. Это значение называется током насыщения. При этом все электроны, покидающие катод за время Δt, увлекаются электрическим полем и достигают за это же время анода.

Плотностью тока, как известно, называется отношение силы тока к площади поперечного сечения проводника.

При движении носителей заряда со средней скоростью упорядоченного движения <v> плотность тока j связана с концентрацией электронов n и величиной <v> следующим образом (см. Ч. 2, (6.4)):

здесь e - элементарный заряд.

При термоэлектронной эмиссии электроны, покидающие металл, имеют разные скорости. Вклад в плотность тока электронов, вылетающих из катода по направлению к аноду и имеющих компоненту скорости вдоль оси z в интервале от v_z до v_z + dv_z , дается выражением:

Здесь dn_vz = dn_pz - концентрация электронов, имеющих скорость v_z и соответствующий ей импульс p_z = mv_z в указанном выше интервале.

Плотность тока насыщения получим, проинтегрировав dj по p_z от нуля до бесконечности:

Для dn_pz получается следующее выражение:

Здесь 2/h³ возникает при подсчете числа состояний в фазовом объеме dVdp_xdp_ydp_z. Интегрирование по p_x и p_y исключает из рассмотрения движение электронов параллельно поверхности катода. "Хвост" функции распределения Ферми-Дирака (11.5) должен быть выражен через компоненты импульса электрона в соответствии с равенством:

в результате:

Здесь учтем, что U₀ - E_F = A (12.4). Интегрирование дает следующий результат:

Введя обозначение:

получим формулу Ричардсона-Дэшмена для плотности тока насыщения:

Постоянная В называется константой Ричардсона.

Численное значение константы Ричардсона:

Измеряя на опыте зависимость тока насыщения от температуры, можно экспериментально определить работу выхода электрона А и материал, из которого изготовили катод.