Бозоны. Распределение Бозе-Эйнштейна

Бозон - это частица или (квазичастица - как, например, фонон - квант упругих колебаний в твердых телах) с нулевым или целочисленным спином. К бозонам, как уже упоминалось, относятся также фотоны (спин s = 1), составные частицы, состоящие из четного числа фермионов (например, атом ⁴₂He), куперовские пары электронов, образование которых приводит к сверхпроводимости.

Распределение Бозе-Эйнштейна дает <n(E_i)> среднее число невзаимодействующих между собой бозонов в состоянии с энергией E_i , где i - набор квантовых чисел, характеризующих квантовое состояние. Формула распределения Бозе-Эйштейна имеет следующий вид:

где µ - химический потенциал; T - абсолютная температура; k - постоянная Больцмана.

В отличие от распределения Ферми-Дирака в знаменателе стоит "минус единица". Вследствие этого химический потенциал µ для бозонов не может быть положительным. Иначе при E_i < µ (если бы µ > 0!) показатель экспоненты в знаменателе стал бы отрицательным, экспонента стала бы меньше единицы и некоторые из чисел заполнения n_i стали бы отрицательными, что невозможно.

Если полное число частиц в системе не фиксировано, как, например, для фотонов при тепловом излучении, то химический потенциал µ равен нулю.

При фиксированном числе частиц величину µ определяют из условия нормировки, как и в случае распределения Ферми-Дирака.

Применим распределение Бозе-Эйнштейна для вывода формулы Планка для u(ω, Т) - функции распределения плотности энергии в спектре излучения абсолютно черного тела.

При обычных, не лазерных, интенсивностях фотоны можно считать невзаимодействующими между собой бозонами, поэтому тепловое излучение, находящееся в равновесии со стенками излучающей полости можно рассматривать как идеальный фотонный газ.

Как было отмечено выше, химический потенциал для системы фотонов µ = 0. Энергия фотона , следовательно, распределение Бозе-Эйнштейна для фотонов имеет следующий вид:

здесь <n(ω_i)> - среднее число фотонов с частотой ω_i. Частота ω_i задает квантовое состояние фотона.

Пусть ΔE обозначает энергию фотонов, находящихся в объеме ΔV и имеющих частоты, лежащие в интервале Δω.

Тогда

имеет смысл функции распределения плотности энергии в спектре излучения абсолютно черного тела (спектральное распределение).

Пусть ΔZ(ω_i) - число квантовых состояний фотонов в объеме ΔV и интервале частот от ω_i до ω_i + Δω.

Тогда

так как произведение дает среднюю энергию фотонов частоты ω_i, т.е. среднюю энергию в одном квантовом состоянии. Функция <n(ω_i)> известна, поэтому задача состоит в нахождении числа квантовых состояний ΔZ(ω_i).

Подсчет числа квантовых состояний ΔZ делается с использованием формулы (10.5), т.е.:

здесь двойка учитывает две возможные поляризации фотонов. Фазовый объем.

где - объем сферического слоя в пространстве импульсов.

Импульс фотона (см. (5.3)):

значит

Тогда

Так как частоты ω_i меняются квазинепрерывно, то мы опустили индекс i, нумерующий квантовые состояния.

Подставляя в формулу (12.11) для ΔE полученное выражение ΔZ(ω) (12.12) и функцию распределения Бозе-Эйнштейна для фотонов (12.9), получим:

Используя это выражение, получим формулу Планка для функции распределения плотности энергии в спектре излучения абсолютно черного тела:

Из нее, как показано в лекции N 2, § 1, следует формула для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела (см. (2.1), (2.2)).