Математическое решение задачи

Математическое решение задачи. Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными F1x, у0, 1 F2x, у0 действительные корни которых требуется найти с заданной степенью точности.

Мы предположим, что система 1 допускает лишь изолированные корни. Число этих корней и их грубо приближенные значения можно установить, построив кривые F1x, у0 F2x, у0 и определив координаты их точек пересечения. Пусть хx0 уy0-приближенные значения корней системы 1, полученные графически или каким-нибудь другим способом например, грубой прикидкой.

Дадим итерационный процесс, позволяющий при известных условиях уточнить данные приближенные значения корней. Для этого представим систему 1 в виде x1x, y, y2x, y и построим последовательные приближения по следующим формулам x11x0,y0 y12x0,y0 x21x1,y1 y12x1,y1 3 xn11xn, yn yn12xn, yn Если итерационный процесс 3 сходится, т. е. существуют пределы lim xn и lim yn, n n то, предполагая функции 1x, y и 2x, y непрерывными и переходя к пределу в равенстве 3 общего вида, получим lim xn1lim 1xn, yn n n lim xn1lim 2xn, yn n n Отсюда 1, 2, т. е. предельные значения и являются корнями системы 2, а следовательно, и системы 1. Поэтому, взяв достаточно большое число итераций 3, мы получим числа xn и yn, которые будут отличаться от точных корней x и y системы 1 сколь угодно мало. Поставленная задача, таким образом, окажется решенной.

Если итерационный процесс 3 расходится, то им пользоваться нельзя. Теорема. Пусть в некоторой замкнутой окрестности R axA byBрис. имеется одна и только одна пара корней x и y системы 2. Если1 функции 1x, y и 2x, y определены и непрерывно дифференцируемы в R 2 начальные приближения x0, y0 и все последующие приближения xn, yn n1,2 принадлежат R 3 в R выполнены неравенства 1x2x q1 1 1x2x q2 1 то процесс последовательных приближений 3 сходится к корням x и y системы 2, т.е. lim xn и lim yn, n n Рисунок 2.1-Графики уравнений в замкнутой окрестности.

Структурная схема решения задачи представлена на рисунке 2.2. Нет Да Рисунок 2.2-Структурная схема решения задачи. 3.