Метод Лагранжа

Пусть при Х = Х₀, Х₁, Х₂, ..., Х_n функция f(X)принимает соответственно значения Y₀, Y₁, Y₂, ...,Y_n. Многочлен степени не выше n, принимающий в узловых точках заданные значения, имеет вид:

Рn(X)=Y=.

(3.5)

Этот многочлен (3.5) называется интерполяционной формулой Лагранжа и обладает следующим свойствами:

1. При заданной совокупности узловых точек построение многочлена возможно только единственным образом;

2. Многочлен Лагранжа может быть построен при любом расположении узлов интерполяции (включая и неравномерное).

В развернутом виде форма Лагранжа имеет вид:

 

Р_n=+

 

+ +

 

+ … + +

 

+ … +

(3.6)

 

При n=1 формула Лагранжа приобретает вид:

Р(Х) =

(3.7)

и называется формулой линейной интерполяции.

При n=2 получим формулу квадратичной интерполяции

Р(Х)=

(3.8)

Пример 3.1: Объем 1 кг метана изменяется в зависимости от давления при Т=273 К следующим образом (табл. 3.2):

Таблица 3.2

Экспериментальные данные

Р, МПа	0.096	0.075	0.036
V, м3	1.477	1.891	3.939

Определить объем 1 кг метана при давлении 0.083 МПа.

Р(0.083)=

+

Таким образом, объем 1 кг метана при Р=0.083 МПа равен 1.676 м³.

Для решения задач интерполяции с использованием формулы Лагранжа можно применять прикладную программу LAGRANG.EXE

Существует еще целый ряд методов интерполяции - метод конечных разностей, интерполяционные формулы Ньютона и др. Рассмотрим метод конечных разностей.