Курсовая работа по курсу "Вычислительная математика и программирование" по теме "Обработка экспериментальных данных"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

 

ОДЕССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Химико-технологический факультет

 

 

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я

по выполнению курсовой работы по курсу "Вычислительная математика и программирование" по теме "Обработка экспериментальных данных"

Одесса 1999

    Составители: доц. кафедры ТООС, к.т.н. Луговской В. И.,

ВВЕДЕНИЕ

Математическая обработка и анализ результатов эксперимента необходимы как студентам технических вузов, так и инженерам-исследователям и инженерам-технологам. Недостаточное знание ими современных методов математической обработки и анализа результатов эксперимента вызывает обычно серьезные затруднения и приводит к применению упрощенных и недостаточно обоснованных приемов. Это относится к вопросам подбора эмпирических формул и оценки их параметров, оценки истинных значений измеряемых величин и точности измерений, исследования корреляционных зависимостей.

Выполняя данную курсовую работу, студенты закрепляют навыки практического применения основных методов обработки и анализа результатов эксперимента к различным вопросам химии и химической технологии.

Каждый студент получает индивидуальное задание на курсовое проектирование.

При выполнении курсовой работы студенты могут использовать как прикладные программы, имеющиеся в библиотеке программ ХТФ, так и самостоятельно разработанными программными продуктами.

Защита курсовой работы, предварительно подписанной руководителем, проводится в установленный срок перед комиссией, утвержденной на кафедре. При оценке курсовой работы учитывается обоснованность принятых решений, оригинальность разработанных программных продуктов, полнота и правильность расчетов, качество оформления записки, систематичность работы и подготовленность студента к защите.

 

СТРУКТУРА КУРСОВОЙ РАБОТЫ

1) провести корреляционный анализ и установить наличие линейной связи между экспериментальными данными (исходные данные 1); 2) исследовать наличие линейной связи между двумя физическими свойствами… 3) выполнить линейный регрессионный анализ и определить коэффициенты регрессии с оценкой значимости коэффициентов и…

Корреляционный анализ

 

Теоретические сведения

При корреляционном анализе проверяется лишь сам факт связи, т. е. статистическая гипотеза об отсутствии (или наличии) связи. Сама природа величин,… Примером задачи корреляционного анализа может служить исследование влияния… Обычно при корреляционном анализе исследуются только линейные связи между величинами, а статистические критерии…

Линейная корреляция

Рассмотрим сначала простейший случай, когда в результате независимых опытов была получена совокупность n пар чисел (x1,y1), (x2,y2), … , (xn,yn)… где - выборочный коэффициент регрессии Y на Х. Уравнение (2.3) называют выборочным уравнением прямой линии регрессии Y на Х. Будем находить параметры и b уравнения…

Линейный регрессионный анализ.

Метод наименьших квадратов

Исследование и оптимизация сложных, плохо организованных систем возможны лишь с помощью статистических, вероятностных методов. Исходной точкой для… Уравнение регрессии представляет математическую форму зависимости измеряемой… При статистической оценке степени адекватности модели экспериментальным результатам наиболее часто используют критерий…

Метод наименьших квадратов

где Хi — независимые переменные; aj — коэффициенты эмпирической зависимости. Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами в смысле… т.е. минимума суммы квадратов отклонений между экспериментальными и расчетными значениями. В дальнейшем, вместо будем…

Требуется определить коэффициент эмпирической формулы

Нормальная система для определения a и b будет иметь такой вид:   ∂R/∂a = 2∑(a + b∙ Xi – yi) ∙ 1… Сделав простейшие преобразования, получим:   a.∙n +… Решив систему (2.20), получаем значения a и b. Подставив их в выражение (2.17), получаем вид эмпирической формулы.

Анализ уравнения регрессии

Дисперсия адекватности модели Sад2 характеризует меру отклонения данных , полученных расчетом по уравнению регрессии (2.17) от реальных… при числе степеней свободы f = n – 2. После вычисления коэффициентов модели a и b вычисляют дисперсии Sa2 и Sb2,связанные с определением коэффициентов: …

Представление экспериментальных данных формулами без использования МНК

 

Выбор эмпирической формулы. Метод выравнивания.

В некоторых случаях выбор типа эмпирической формулы может быть произведен на основе теоретических представлений о характере изучаемой зависимости. В… Поэтому, прежде чем определять численные значения коэффициентов в выбранной… Метод выравнивания заключается в преобразовании функции y = F(x) таким образом, чтобы превратить ее в линейную…

Определение параметров эмпирической формулы

После того как вид эмпирической зависимости выбран, решается задача определения наилучших коэффициентов (параметров), входящих в эту формулу. Как правило, поиск параметров осуществляется для эмпирической формулы, приведенной к линейному виду. В основном, применяются три метода: метод выбранных точек, метод средних и метод наименьших квадратов. Последний метод был рассмотрен ранее.

 

Метод выбранных точек

Наносим на координатную плоскость опытные точки (Xi,Yi). Как можно ближе к этим точкам проводим прямую (приближающая прямая). На этой прямой… Решая ее, находим а и b.  

Метод средних

где Е1, Е2, . . . , Еn ,- невязки (отклонения), могут быть как положительными, так и отрицательными. Согласно методу средних, за наилучшую эмпирическую зависимость принимается та,… Для определения параметров а и b формулы (2.35) поступают следующим образом:

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Постановка задачи интерполирования

Таблица 3.1 Таблица экспериментальных значений X X0 X1 X2 . . . Xn Y Y0 Y1 Y2 .…

Метод Лагранжа

Этот многочлен (3.5) называется интерполяционной формулой Лагранжа и обладает следующим свойствами: 1. При заданной совокупности узловых точек построение многочлена возможно… 2. Многочлен Лагранжа может быть построен при любом расположении узлов интерполяции (включая и неравномерное).

Интерполяционные формулы Ньютона

Понятие о конечных разностях различных порядков

построение интерполяционного многочлена удобнее всего производить по формулам, использующим табличные разности функции. Табличные (конечные) разности функции (разности первого порядка) определяются… Разности второго порядка определяются как разности разностей первого порядка:   D2Yk = DYk+1 -…

Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции

Будем искать многочлен Рn(х) степени п, удовлетворяю­щий условиям (3.2), в виде   Рп(х)= a0 + a1 (x – x0) + a2 (x – x0) (x –… где x0, x1, … xn — заданные значения аргумента х, причем xi — xi–1 = h = сопst… Положим в формуле (3.15) х =x0 . Тогда Рn(x0) = a0 . Однако, в силу условий (3.2), Рn(x0) = y0 . Следовательно, a0 =…

Вторая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции

Получим формулу, которой удобно пользоваться для ин­терполирования (экстраполирования) функции у =f(х) в конце таблицы. Напишем искомый… Рп(х)= a0 + a1 (x – xn) + a2 (x – xn) (x – xn–1) + a3 (x – xn) (x – xn–1) (x –… Коэффициенты a0, a1, … an определяем из того же условия (3.2): Рn(xi) = f(xi) = yi (i = 0, 1, 2, ..., п).

Конечные разности

Как следует из таблицы, конечные разности третьего порядка постоян­ны, поэтому… а) Так как х = 293,15 ближе к концу таблицы, воспользуемся второй интерполяционной формулой Ньютона (2.21), приняв xn…

Обратное интерполирование

Пусть функция у = f(х) задана таблично. Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному зна­чению функции у определить… Если узлы интерполяции x0, x1, x2, … xn неравноотстоящие, задача легко… x = (3.21)

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Вычислительная математика в химии и химической технологии / С.В. Брановицкая, Р.Б.Медведев, Ю.Я.Фиалков. - Киев: Вища шк. Головне изд-во, 1986.-216с.

2. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах. Крушевский А.В., Беликов Н.И., Тищенко В.Д.- Киев: Вища шк. Головне изд-во, 1985.-290с.

3. Математическая обработка результатов эксперимента, Л.З.Румшинский. – М.: Наука, 1971. – 192 с.

4. Романенко В.Н., Орлов А.Г., Никитина Г.В. Книга для начинающего исследователя-химика.-Л.: Химия, 1987.-280 с.