Будем искать многочлен Рn(х) степени п, удовлетворяющий условиям (3.2), в виде
Рп(х)= a0 + a1 (x – x0) + a2 (x – x0) (x – x1) + a3 (x – x0) (x – x1) (x – x2) + … + an (x – x0) (x – x1) (x – x2) …(x – xn-1), | (3.15) |
где x0, x1, … xn — заданные значения аргумента х, причем xi — xi–1 = h = сопst (i=0,1, ... , n), коэффициенты a0, a1, .. , an нам неизвестны. Будем их определять, исходя из условий (3.2).
Положим в формуле (3.15) х =x0 . Тогда Рn(x0) = a0 . Однако, в силу условий (3.2), Рn(x0) = y0 . Следовательно, a0 = y0 .
Для определения a1полагаем в (3.15) х = х1, после чего получим
Рn(x1) = a0 + a1 (x1 – x0).
Учитывая, что Рn(x1) = y1 , a0 = y0 , (x1 – x0) = h , можем записать y1 = y0 + a1h, откуда . Однако y1 – y0 = Dy0 — конечная разность 1-го порядка, следовательно, .
Далее, полагая х = х2, получим
Рn(x2) = a0 + a1 (x2 – x0) + a2 (x2 – x0) (x2 – x1).
Так как Рn(x2) = y2 , a0 = y0 , , (x2 – x0) = 2h, (x1 – x0) = h , запишем:
y2 = y0 + 2h + a22hh;
отсюда
a2 = .
Но Dy0 = y1 – y2, поэтому
y2 – y0 – 2Dy0 = y2 – y0 – 2 (y1 – y0) = y2 – 2 y1 + y0 =D2y0 .
Следовательно,
a2 = .
Аналогичные дальнейшие вычисления (с учетом формулы {3.14), выражающей разности различных порядков через значения функции), позволяют записать остальные коэффициенты:
a3 = ,… ak = ,… an = .
Подставив найденные выражения коэффициентов в формулу (3.15), получим
Рп(х) = y0 + (x – x0) + (x – x0) (x – x1) + (x – x0) (x – x1) (x – x2) + … +
+…+ (x – x0) (x – x1) (x – x2)… (x – xn–1). (3.16)
Это и есть первая интерполяционная формула Ньютона. Ее можно представить в несколько ином виде, более удобном для практического использования. Обозначим
= q.
Тогда
= q — 1; = q — 2; …= q – n + 1
и формула (3.16) приобретает вид
Рп(х) = y0 + qDy0 + D2y0 + D3y0 + … +
+…+ Dny0 . | (3.17) |
Формулу (3.17) целесообразно использовать для интерполирования (экстраполирования) функции y=f(x) в окрестности начального значения x0, где qмало по абсолютной величине.
Если в формуле (3.17) принять п= 1, получим формулу линейного интерполирования:
Р1(х) = y0 + qDy0 .
При n = 2 будем иметь формулу параболического, или квадратичного, интерполирования:
Р2(х) = y0 + qDy0 + D2y0 .
При применении первой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей конечных разностей, так как тогда нужные значения разностей функции находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы.
Степень п многочлена Рn(х) на практике желательно выбирать так, чтобы конечные разности Dnyi были практически постоянными. За начальное значение x0 можно принимать любое табличное значение аргумента х.