Пусть функция у = f(х) задана таблично. Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции у определить соответствующее значение аргумента х.
Если узлы интерполяции x0, x1, x2, … xn неравноотстоящие, задача легко решается с помощью интерполяционной формулы Лагранжа (3.5). Для этого достаточно принять у за независимую переменную, а х считать функцией. Тогда получим
x = (3.21)
Пример 3.3. Данные по плотности r водных растворов хлорида магния в зависимости от его концентрации С при температуре 293 К приведены в таблице 3.7:
Таблица 3.7
Плотность r водных растворов хлорида магния
С, % | 2,00 | 4,00 | 8,00 | 16,00 |
r, г/см3 | 1,0146 | 1,0311 | 1,0646 | 1,1342 |
Определить, при какой концентрации плотность раствора хлорида магния будет равна 1,1031 г/см3.
Решение. Обозначим х = С, у = r. По формуле (3.22) находим:
x = 2,00 × +
+ 4,00 × +
+ 8,00 ×
+ 16,00 × » 12,48.
Таким образом, r = 1,1031 г/см3 при С = 12,48 %.
Рассмотрим теперь задачу обратного интерполирования для случая равноотстоящих узлов интерполяции. Предположим, что функция f (х) монотонна и данное значение у содержится между y0=f(x0) и y1 = f(x1).
Заменяя функцию у первым интерполяционным многочленом Ньютона, получим:
y = y0 + qDy0 + D2y0 + D3y0 + …+ Dny0 .
Отсюда
q = D2y0 – …–Dny0 ,
т.е. q = j (q).
Величину q определяем методом последовательных приближений как предел последовательности:
q = lim qi , i®¥ |
где qi = j (qi-1) (i=1, 2,…).
За начальное приближение принимаем
q0 = | (3.22) |
Для i-го приближения имеем:
qi = q0 – D2y0 – …–Dny0 . | (3.23) |
На практике процесс итерации продолжают до тех пор, пока не установятся цифры, соответствующие требуемой точности, причем полагают q » qm , где m — последнее из найденных приближений. Найдя q, определяем х по формуле
= q,
откуда
х = x0 + qh . | (3.24) |
Мы применили метод итерации для решения задачи обратного интерполирования, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона. Аналогично можно применить этот способ и ко второй формуле Ньютона:
y = yn + qDyn–1 + D2yn–2 + D3yn–3 + …
+ Dny0 .
Отсюда
q = D2yn–2 – …–Dny0 .
Обозначим q0 = — начальное приближение.
Для i-го приближения имеем:
qi = q0 – D2yn–2 – …–Dny0 . | (3.25) |
Найдя
q = lim qi , i®¥ |
определим х по формуле
х = xn + qh . | (3.26) |
Пример 3.4. Пользуясь табл. 3.5 примера 3.2 определить, при какой температуре вязкость воды равна 1,262 мПа × с.
Решение. Заданное значение у = h = 1,262 содержится между у0 = h0 = 1,308 и y1 = h1 = 1,203. Поэтому за начальное значением y принимаем у0 = 1,308. По формуле (3.23)
q0 = = (1,262 – 1,308)/(—0,105) = 0,438.
Далее, пользуясь формулой (3.24), находим последовательные приближения qi(i = 1,2,...):
q1 = q0 – D2y0 – D3y0 = 0,438 – × 0,422×(0,422–1) –
– × 0,438 × (0,438 – 1) × (0,438 – 2) = 0,438 – 0,015 – 0,001 =0,422;
q2 = q0 – D2y0 – D3y0 = 0,438 – × 0,422×(0,422–1) –
– × 0,422 × (0,422 – 1) × (0,422 – 2) = 0,438 – 0,015 – 0,001 =0,422;
q = q2 = 0,422 .
Теперь по формуле (3.24) получим
х = x0 + qh = 283,15 +0,422 × 3 » 284,42 .
Следовательно, h = 1,262 мПа ∙ с при Т = 284,42 К.
В курсовой работе необходимо проанализировать результаты, полученные различными методами.