Содержание
Введение. 2
1. Общее положение. 3
Задание №1. 3
2. Практическая часть выполнения задания. 4
Заключение. 13
Введение
В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решений, в том числе и в финансовой математике. Для решения задач линейного программирования разработано сложное программное обеспечение, дающее возможность эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Эти программы и системы снабжены развитыми системами подготовки исходных данных, средствами их анализа и представления полученных результатов. Владение аппаратом линейного программирования необходимо каждому специалисту в области прикладной математики.
Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:
· рационального использования сырья и материалов;
· задачи оптимального раскроя;
· оптимизации производственной программы предприятий;
· оптимального размещения и концентрации производства;
· составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;
· управления производственными запасами;
· и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.
Наиболее разработанным и широко применяемым разделом математического программирования является линейное программирование, целью которого служит отыскивание оптимума (max, min) заданной линейной функции при наличии ограничений в виде линейных уравнений или неравенств в этом и заключается актуальность данной работы.
Целью данного РГЗ является выполнение расчетно-графической работы, закрепление знаний и навыков, необходимых для математического моделирования социально-экономических процессов. А также, приобретение навыков работы с программными пакетами «Линейное программирование» и «Дискретное программирование».
Общее положение
Целью выполнения расчетно-графической работы является закрепление знаний, умения и навыков, необходимых для математического моделирования социально-экономических процессов. А также, приобретение навыков работы с программными пакетами.
Задание №1
На фабрике с помощью 5 видов красителей (А1-А5) создается 4 разновидности рисунков для тканей (Р1-Р4). При известной отпускной стоимости 1 м ткани каждого рисунка (руб.), известном расходе каждого красителя на окраску 1 м ткани (г) и известном запасе каждого красителя (кг):
2.1.1 определить план выпуска ткани каждого рисунка, обеспечивающий максимальную прибыль от реализации тканей;
2.1.2 составить двойственную задачу и найти ее решение;
2.1.3 определить теневые цены на каждый краситель; указать дефицитные и недефицитные красители;
2.1.4. указать на сколько недоиспользуются недефицитные красители;
2.1.5 показать прибыль, план выпуска тканей каждого рисунка и недоиспользование недефицитных красителей при увеличении запасов дефицитных красителей на 1 ед.;
2.1.6 показать допустимые пределы изменения запасов красителей;
2.1.7 показать допустимые пределы изменения цен на выпускаемые виды тканей.
2.1.8 оценить целесообразность введения в план производства выпуск ткани с разновидностью рисунка Р5, если нормы затрат красителей на 1 единицу ткани соответственно равны: 6; 2; 1; 4; 4; и доход, ожидаемый от реализации новой ткани равен 5000 руб;
2.1.9 показать, допустимо ли увеличение всех дефицитных красителей одновременно на 10 кг.
Практическая часть выполнения задания
Вариант 1
Исходные данные
| Вид красителей | Разновидность рисунка. Нормы расхода красителей на окраску 1 м2 ткани (г) | Запасы красителей (кг) | |||
| Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | ||
| А1 | |||||
| А2 | |||||
| А3 | |||||
| А4 | |||||
| А5 | |||||
| Стоимость 1м ткани (руб.) |
1.Определение плана выпуска тканей каждого вида рисунка, обеспечивающий максимальный доход от реализации тканей
Составляем экономико-математическую модель задачи.
Обозначим:
Х1 – план выпуска ткани рисунка вида Р1
Х2 – план выпуска ткани рисунка вида Р2
Х3 – план выпуска ткани рисунка вида Р3
Х4 – план выпуска ткани рисунка вида Р4
F = 49x1 + 33x2 + 76x3 + 109x4 → max
Решаем задачу с помощью симплекс- таблицы:
Отрицательных оценок в оценочной строке нет; решение оптимально. Оптимальный опорный план Хопт = (0; 0; 12500; 0; 0; 19900; 67500; 100000; 50000)
Fmax = 950000
Для получения max прибыли 950000 руб. необходимо выкупить тканей рисунка Р3 12,5 м.
Ткани рисунков Р1, Р2, Р4 являются убыточными, их производство нерентабельно.
2. Составление и решение двойственной задачи
У1 – теневая цена рисунка красителя А1
У2 – теневая цена рисунка красителя А2
У3 – теневая цена рисунка красителя А3
У4 – теневая цена рисунка красителя А4
У5 – теневая цена рисунка красителя А5
Составляем двойственную задачу
F=25000y1+120000y2+155000y3+250000y4+100000y5 →max
3y1 +4y2+2y3+8y4+2y5≥ 49
1y1 +3y2+3y3+5y4+3y5≥ 33
2y1 +8y2+7y3+12y4+4y5≥ 76
10y1 +6y2+9y3+11y4+y5≥ 109
Yопт =(38; 0; 0; 0; 0)
Fmin = 950000
3. Определение теневых цен на красители
У1 – 38
У2 – 0
У3 – 0
У4 – 0
У5 - 0
Дефицитным является краситель А1, недефицитными: А2, А3, А4, А5
4. Недефицитные красители недоиспользуются:
Краситель А2 на 19,9 кг
Краситель А3 на 67,5 кг
Краситель А4 на 100 кг
Краситель А5 на 50 кг
5. При увеличении запасов красителя А1 на 1 ед. ( 25001 г.) можно увеличить прибыль на 38 руб., что составит 950038 руб.
При этом план выпуска ткани рисунка Р3 надо увеличить на 0,5 м., т.е. выпустить ткани х3 12500,5. В этом случае недефицитные красители будут недоиспользованы:
Краситель Р2 – 4; его недоиспользование составит 20004
Краситель Р2 – 3,5; его недоиспользование составит 67503,5
Краситель Р2 – 6; его недоиспользование составит 100006
Краситель Р2 – 2; его недоиспользование составит 50002
6. Допустимые пределы изменения запасов
Матрица Р-1 =
(b+∆b) =
Р-1(b+∆b) = * =
7. Допустимые пределы изменения отпускной стоимости тканей каждого рисунка
Для выполнения данного пункта решается двойственная задача с помощью симплекс – метода ( программа DVSimp)
F=25000y1+120000y2+155000y3+250000y4+100000y5 →min
3y1 +4y2+2y3+8y4+2y5≥ 49
1y1 +3y2+3y3+5y4+3y5≥ 33
2y1 +8y2+7y3+12y4+4y5≥ 76
10y1 +6y2+9y3+11y4+y5≥ 109
Матрица Р-1 =
(с+ ) =
Р-1(с+ )= =
8. Оценим целесообразность введения в план производства ткани с новым рисунком
YР5 =(38; 0; 0; 0; 0)
Р5 = 12500*38+0*19900+0*67500+0*100000+0*50000 – 5000 = 470000
Т.к. Р5 – положительно, введение в план производства ткани с новым рисунком нецелесообразно.
9. Определим, допустимо ли одновременное увеличение запасов дефицитных красителей на 10 кг. каждого
Согласно п.6 пределы изменения запасов красителей определяются из условия
≥0
Согласно п.2. дефицитным является краситель А1. Значит Остальные =0, тогда
12,5+0,5*4=10,5
19,9-4*4=3,9
67,5-3,5*4=53,5
100-6*4=76
-100-2*4=-92
Увеличение дефицитных красителей не приводит к изменению плана производства тканей
Заключение
В своей работе я исследовала необходимость использования симплекс метода при расчёте оптимального плана производства продукции на предприятии (в частности на производстве тканей и красок). С помощью симплекс метода и действенной задачи был проведён анализ целесообразности производства продукции, а так же выявлены дефицитные и недефицитные виды красок. Так же были проведены аналитические расчёты позволяющие сделать вывод об изменение доходности при увеличение используемых ресурсов на производстве.