Решение СЛАУ с помощью методом Гаусса. Задаём матрицы А и В: Сформируем расширенную матрицу: Обращаемся к методу Гаусса, сформировав единичную матрицу из расширенной: С помощью функции submatrix выделяем блок из матрицы D: Где D - название матрицы, из которой находится выделяемый блок, 0 – начальный номер строки, выделяемого блока, 3 – конечный номер строки, выделяемого блока, 4 – начальный номер столбца выделяемого блока, 4 – конечный номер столбца, выделяемого блока. 3.6. Анализ полученных результатов Решая систему линейных алгебраических уравнений пятью способами, получили один и тот же ответ, что говорит о правильности полученного результата.
Проверкой это подтвердили.
Задание 4. Интерполирование.
Аппроксимация Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента 1. с помощью линейной интерполяции 2. с помощью кубического сплайна 3. с помощью линейной аппроксимации 4. методом наименьших квадратов при m=2 и при m=3, где m- порядок полинома. Вычислить среднеквадратичное отклонение 5. с помощью полиномиальной регрессии 6. построить графики таблично заданной функции, интерполяционного полинома и аппроксимирующей функции в одних осях координат. 0.150 6.616 0.162 0.155 7.399 0.160 6.196 0.165 6.005 0.170 7.825 0.175 5.655 Решение: В MathCAD есть несколько способов интерполяции и предсказывания: • линейная интерполяция – соединение точек прямой линией; • кубическая сплайновая интерполяция – соединение точек с использованием кубических линий; • интерполяция В-сплайн – соединение точек с использованием многочленов определенной степени в данных узлах; • многомерная кубическая сплайновая интерполяция – создание поверхности, проходящей через сетку точек; • линейное предсказание (экстраполяция) – определение значений вне набора данных.
Далее будут приведены примеры интерполирования функции с использованием лишь некоторых способов интерполирования. 4.1. Решение с помощью линейной интерполяции Для решения с помощью линейной интерполяции используется функция линейного интерполирования linterp(x, y, xd) Функция linterp(vx, vy, xd) – возвращает оценку значения в точке x, вычисленную методом линейной интерполяции на основе значений из векторов x и y; • vx – вещественный вектор, элементы которого должны идти в порядке возрастания и соответствовать значениям х; • vy – вещественный вектор одного размера с vх. Его элементы соответствуют значениям y; • xd – значение переменной x, в которой нужно проинтерполировать величину y. Предполагается, что х лежит в интервале изменения элементов vx. Задаем значения х и у в виде матриц: Находим функцию f(x): Строим график функции: рис. 4.1 График проходит через узлы интерполяции, значит функция задана верно. 4.2. Решение с помощью параболического сплайна Сплайн – это математическая модель гибкого, тонкого стержня из упругого материала.
Стержень закрепляется в двух соседних узлах с заданными углами наклона. Стержень длиннее, чем расстояние между двумя точками.
Линия, которую описывает сплайн-функция, напоминает по форме гибкую линейку, закреплённую в узловых точках (откуда и название: spline – гибкая линейка). Функция cspline(vx, vy) – возвращает вектор коэффициентов кубического сплайна vs, который используется функцией interp для построения кубического сплайна, интерполирующего данные, представленные в векторах vx и vy. На поведение сплайна на концах условий не налагается.
Вектор vs становится первым параметром функции interp.
Функция interp(vs, vx, vy, x) – возвращает интерполированное значение в точке х, полученное с помощью кубических сплайнов на основе данных, представленных в векторах vx и vy.